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1、 才子教育 小学奥数系列第24讲 巧解最值应用问题巧点晴方法和技巧生产和生活中有许多最值问题，需要我们结合实际，灵活地选择方法进行解答。常用解题方法有：逆推，列表，比较等。巧指导例题精讲A级 冲刺名校基础点晴【例1】有10位小朋友，其中任意5人的平均身高不小于1.5米，那么，其中身高小于1.5米的小貊了多有几人？分析与解 本题从正面似乎很难入手，但当我们抓住关键词“任意5人”、“不小于1.5米”，从反而入手却很易得解。题目要求的是“身高小于1.5米的小朋友最多有几人”，我们不妨考虑任意5人中身高不小于1.5米的最少有几人。由题设“任意5人的平均身高不小于1.5米”，可知任意5人中身高不小于1.
2、5米的至少有1人；否则若身高不小于1.5米的人一个都没有，其平均身高就不可能大于1.5米。所以任意5人中身高小于1.5米的最多有4人。也可以这样考虑，反设有5个或多于5个小朋友的身高小于1.5米，我们就从10个小朋友中选这5人出来，他们的平均身高就一定小于1.5米，与题目给定的条件矛盾，所以身高小于1.5米的小朋友最多有4人。答：身高小于1.5米的小朋友最多有4人。做一做工 有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？【例2】5个空瓶可以换一瓶汽水。某班同学共喝了161瓶汽水，其中有些是用喝完的汽水瓶换来的，那么，他们至少要买多少瓶汽水？解法院 （逆推法）首先
3、弄清楚什么情况下所买的汽水最少，显然是所有空瓶都换成汽水，最后只剩一个空瓶的情况是买汽水最少的。我们设想最后1瓶汽水是由此个空瓶换来的，而这5个空瓶中的汽水又是由55个空瓶换来的，再推下去，25个空瓶的汽水又是由125个空瓶换来的，这一方案一直没有花钱买汽水，当然是最优的。从这里可以看出，只要买125瓶汽水，就可以喝到1252551=156（瓶）汽水，并剩一个空瓶，再买4瓶汽水喝完后加上剩下的一个空瓶又可换一瓶汽水，如此就可喝到161瓶汽水，而只要买1254=129（瓶）汽水即可。解法2 我们将买最少瓶汽水的总是转换成花最少的钱喝161瓶汽水的问题。怎样才能使同学们喝到161瓶汽车又花钱最少？
4、答案只有一个，就是将所有的汽水瓶全部退给店主换成钱。设每瓶汽水1元钱，喝161瓶汽车花161元，每5个空瓶值1元，1615=32余1。161个空瓶换元，161=元，即至少要买129瓶汽水。解法3 根据“5个空瓶可换1瓶汽水”（连汽水带瓶子）可知，每4个空瓶就能换到一瓶汽水（不带瓶），所以每个空瓶可换瓶汽水。也就是说，买一瓶汽水实际能喝到1瓶汽水。因此，喝161瓶汽水至少要买：161（1）=128.8129（瓶）答：他们至少要买129瓶汽水。做一做2 5个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了120瓶汽水，那么，他们至少要买多少瓶汽水？【例3】某县农机厂金工车间共有77个工人。已知每天每个工人平均可加
5、工甲种部件5个，或乙种部件4个，或丙种部件3个。每个甲种部件、1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套。问：分别安排多少个工人加工甲、乙、丙三种部件时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？分析与解 如果采用直接假设，那么就要用三个字母分别代替加工甲、乙、丙三种部件的人数，这已经超出我们的知识范围。由题目条件看出，每套成品中，甲、乙、丙三种部件的件数之比是3：1：9，因为是配套生产，所以生产出的甲、乙、丙三种部件的数量之比也应是3：1：9。设每天加工乙种部件个，则加工甲种部件3个，丙种部件9个。从而可知，加工甲种部件应安排人，加工乙种部件应安排人，加工丙种部件应安排人。依题意可得方程=7
6、7=77=20将=20依次代入，和，得=20=12（人），=20=5（人），=320=60（人）。答：加工甲、乙、丙三种部件应分别安排12人、5人和60人。做一做3 车过河交渡费3元，马过河交渡费2元，人过河交渡费1元。某天过河的车、马数目的比为2：9，马、人数目的比为3：7，共收得渡费945元。问：这天渡河的车、马、人的数目各是多少？B级 培优竞赛更上层楼【例4】小朋友们排成一行，从左面第一人开始，每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始，每隔绝人发一个橘子，结果有10人小朋友苹果和橘子都拿到了。那么，这些小朋友最多有多少人？分析与解 苹果每隔2人发一个，橘子每隔4人发1个。由3，5=15，所以
7、每15个小朋友中就有1人拿到了苹果和橘子。因此，苹果和橘子都拿到的10个小朋友之间共有15（101）1=136个小朋友，他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，左边最多有34=12（人）；而右边最多有2个小朋友拿到橘子，右边最多有52=10（人）。结果，最多有1213610=158（人）。答：这些小朋友最多有158人。做一做4 有2008个小朋友排成一排，王老师从左面第一人开始发一张卡片，然后每隔2人发一张卡片；李老师从右面第一人开始发一朵红花，然后向左每隔4人发一朵红花。问：有多少个小朋友卡片和红花都拿到了？【例5】某金工工厂生产铁箱子，箱子是由一个铁框和两块铁板做成的。这次任务由老李和小张承担
8、，他们的技术情况不同，老李每小时生产9个铁框，或生产12块铁板；小张只能生产铁板，每小时生产10块。现要生产63个箱子，问：至少要用多少小时？分析与解 生产63个箱子，需63个铁框，李师傅每小时生产9个铁框，生产63个铁框要639=7（时）。63个箱子要用632=126（块）铁板，李师傅生产铁框的7小时，小张已生产铁板710=70（块）。还未生产的有12670=56（块）。二人共同生产56块铁板要56（1210）=5622=（时）。所以，李、张二人至少要用7=（时）。答：至少要用小时。做一做5 完成一套零件需要一个大零件和三个小零件组成。新机床每小时加工8个大零件，或加工12个小零件；旧机床只
9、能加工小零件，每小时加工10个。现在要加工80套零件，问：至少需要用多少小时？【例6】钢筋原材料每件长7.3米。每套钢筋架子需用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各一段。问：要做100套钢筋架子，至少要用去原材料几件？分析与解 本题的解法极易出错，为了寻找最佳的解题方法，我们列出各种截割方案：方案2.9米钢筋的根数11120002.1米钢筋的根数12002301.5米钢筋的根数1021204余料数0.80.21.400.11.01.3发现方案、较好，根据它们的关系，列出取件方案：方案取件数2040302.9米钢筋的根数20802.1米钢筋的根数40601.5米钢筋的根数406090件钢筋总长
10、为7.390=657（米）。100套要用钢筋总长为（2.9 2.11.5）100=650（米）；所剩余料为657米650米=7米7.3米（一件），于是90件为最佳方案。这种题，一般应该怎样列式，怎样解答呢？按余料从少到多排列方案，设依次取,y,z件，根据题意得22=1002y2z=1002y=100由式一式，得=2z2.9米2012.1米0221.5米120余料00.10.2取件数yz将=2z代入式，得5z=100,z=20；把z=20代入式，=40；再把=40代入式，得y=30。 =40 即得方程组的解 y=30 Z=20 所以，一共用去原材料403020=90（件）答：至少要用去原材料90
11、件。 做一做6 有一批长4.3米的条形钢材，要截成0.7米和0.4米的甲、乙两种毛坯，要求截出的甲、乙两种毛坯数量相同。问：如何下料才能使残料最少？C级 （选学）决胜总决赛勇夺冠军【例7】若干箱货物总量是19.5吨，每箱质量不超过353千克。今有载重1.5吨的汽车，问：至少要多少辆，才能把这些货物一次全部运走？解 如果只想到19.51.5=13，只需13辆汽车就能将这批货物一次运走，这是不对的。因为只知道每箱质量不超过353千克，没有每箱的具体质量，所以有不确定的因素。为此，我们可以这样安排车辆：首先把12辆车装到另外3辆空车上，每车4箱总质量不超过3534=1412（千克），能被3辆车运走。
12、所以把这些货物一次运走，至少需要汽车1213=16（辆）。做一做7 10吨货物分装若干箱，每只箱子不超过1吨。为了确保在任何情况下都能一次性将这些货物运走，那么，载重量为3吨的汽车，最少需配备多少辆？巧练习温故知新（二十四）A级 冲刺名校基础点晴 1.盒子中装有10分、20分、25分面值的邮票，其中20分邮票的张数是10分邮票张数的3倍还多1，25分邮票的张数是20分邮票张数的5倍还多3。问：盒子中全部邮票的总面值最少是多少？2.电影院一排有50人座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少人就座？3.有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但
13、不为零，试求满足上述条件的最小正整数。4.命题委员会为510年级准备数学奥林匹克竞赛试题，每个年级各7道题，而且都恰有4道题跟任何其他年级不同。试问：其中最多可以有多少道不同的试题（指各个年级加在一起）？5.某城市设立1999个车站，并打算设立若干条公共汽车线路。要求：（1）从任何一站上车，至多换一次车就可以到达城市的任一站；（2）每一个车站至多是两条线路的公共站。问：这个城市最多可以开辟多少条公共汽车线路？B级 培优竞赛更上层楼6.有23个不同的正整数的和是4 845。问：这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少？写出你的结论，并说明理由。7.两个偶数的倒数之和与两个奇数的倒数之和相等，
14、这样的偶数对和奇数对要求不同的偶数和奇数。问：满足这个条件的偶数对的两个偶数之和的最小值是多少？8.将16拆成若干个自然数的和，再求这些自然数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这个乘积是多少？9.把2 002分成若干个不互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该积用乘法形式如何表示？10.10个自然数的和等于2002，则这10个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？C级 （选学）决胜总决赛勇夺冠军11.从1，2，3，2052这2052个自然数中，最多可以取多少个数，使所取出的数中，任意两个数的和是100的整数倍？12.设自然数n有下列性质：从1，2，3，n中任取50个不同的数，其中必有两个数之差等于7，这样的n最大不能超过多少？13.设N=123（n1）n，若数N的尾数恰有25个边续的零，则n的最大值是多少？14.N是一个自然数，是一个整数的平方，是一个整数的立方，则N的最小值是多少？15.设A=123100=12nM。其中n，M均为自然数，则n的最大值为多少？
