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1、第九单元（2）第五章弯曲应力 5-2弓|言以弯曲为主要变形的构件称为梁，如房屋的梁与火车的轮轴。本章主要研 究外力作用在同一平面，变形也在同一平面的梁。实际上，这也是最常见的情 况。三种静定梁固定铰简支梁可动铰（链杆）悬臂梁固定端 5-2剪应弯矩方程与剪应力弯矩图一、剪力与弯矩研究梁的内力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，还精选文本存在弯矩。Q，M “ +”符号:使保留段顺时针转 使保留段内凹符号:二、剪力弯矩方程与剪力弯矩图剪力、弯矩与坐标X间的解析关系式，即称为剪力方程与弯矩方程。表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示法，图示曲线称为剪力、弯矩图。例1：1.求支反力M
2、B 0Rb乎My 0校核（为保证正确，要求校核）MA 02.建立Q ,M方程（截面法）AB段：Q1Raxi4aM1RAX14PX1X14aBC段：Q2X2m2Px2X2也可以只建一个坐标系,BC 段：Q2 P 4axi5a例2:1.2.ABM2 P 5a x1（分布截荷，注意力系简化条件支反力Ra:Q1M方程RA qx14aX15aRb 8qaB 343qa qX1x1 3aM1RAx11 2412qx:qax1qx:0 x1 3a2 32BC : Q2 qx20 x2 a41a2m21 2二 qx；0x2a23.画 Q，M图第10单元铰链：传力，不传力矩刚性接头，传力又传力矩刚架中N、Q ,
3、 M可能同时存在内力符号N（拉正压负）Q（使研究对象顺时针转为正）M （不规定正负，画在受压一侧）有教材将竖杆看作横杆延伸部分的作图，但对于上图的三竖杆刚架将 出现十、一号规定的自相矛盾。因此不规定正负号，画在受压一侧。具体画时, 自行规定正向，但不标出正负号，如下图，左、右两观察者得出的弯矩正负号 不同，图会画在同一侧。土木类教材将弯矩图画在受拉侧，如孙训芳“材料力精选文本M方程AB :Mxi2-qx10 x1 aBC :MX21 22qa0 x2 aDC :MX31 qax3-qa2在没有集中力偶处，刚性接头两端弯矩相等，图在同一侧例：平面曲杆：轴线为平面曲线，N Q MM :画在受压一侧
4、（列Q M方程时，采用曲线坐标，一般用极坐标）直线段：M x1 2 2-qx2 qa20 x2a圆弧段：M1 2 2 - qa2 qa2 sin022精选文本（1.可去掉右边一段，代之以反力和反力偶，2.弧坐标）例：（双杠的力学模型）支座设于何处，P最大?分析：在载荷运动中，梁有两危险截面，即支座处和中点，最大弯矩随长 度X变化，规律相反。“等强”，使两种危险情形的最大弯矩相等，实现最大弯矩为最小1.P位于梁中点（弯矩用红线）maxP I 2x2 2P I 2x42.P位于梁端点maxPx3.等强MmaxPMmax : 4 1 2xPx即外伸部分为中间部分的1/4，本问题为等强原则的推广。 5
5、-3 剪力、弯矩与载荷集度间的微 （积）分关系（本节研究载荷集度、剪力、弯矩三者的关系，及其在绘制剪力、弯矩图中 的应用）微段的平衡：坐标系x向左为正，载荷q（x），向上为正函数在一点的展开的泰勒公式:f X。 h f X。f xo hf 2!x。h2Q Q x0dQdxdx一、微（积）分关系(5.1)(5.2)(5.3)Fy0 Q qdx Q dQ 0Mc 0dxM dM qdxQdx M 02略去二阶微量，得dQdxdMdxd2Mdx2精选文本上述三个关系式的力学意义：微段的平衡几何意义（为用于作Q M图，将仔细研究）。（上面的推导是对均布载荷而言。集中载荷在力学上是咼度集中的分布力的抽象
6、，在数学上代表一个奇异点。在这点，函数值发生跳跃）如图：当 0, qP，保持常值，变为集中力Q图的跳跃，下面就一般情形研究此问题:/ +r I rT略去咼阶微量Mc 0集中力偶情形:对于集中力情形,Q右Fy 0（ 几何意义:P向上，Q图向上跳跃）连续）Q右Q左连续M右M左Mo（M。顺时针，M图向上跳跃）从数学上看，剪力、弯矩图就是函数的图象，因此可以利用函数的各种性质，包括微分和积分性质，总结出画剪力弯矩图的快捷方法。dQdxd2Mdx2：qdx :qxdx几何意义（用来绘制剪力弯矩图）正向规定：x轴，P, q （由剪力、弯矩方程绘图时，不必加此限制。由微积分关系画图，如正向规定不同，某些量会
7、改变符号）Q图：斜率二q, q二常数：直线0上斜0下斜P 点跳，（P上指，Q图上跳）（任意截面）Qq图左边面积+集中力（含支反力）M图：斜率二QM0点跳（M顺时针，M上跳）Q 0, M极值（或拐点）0凹凸性：q （比喻：雨落伞凸面）（任意截面）M Q图左边面积+集中力偶（含支反力偶）第十单元例：利用q、Q、M的微分关系绘制Q、M图 1.分段、段值ABBCQqaqaqaqaM0qa2qa2qa22.利用微分关系连线ABBCQ水平斜上M斜下在绘图中，计算端值是较费时的，这可以利用积分关系解决4HaAt*极值点，补算M 5qa24例：利用微分积分关系绘制剪力弯矩图1. 求支反力2. Q 图（从零开始
8、）A点：向上跳（支反力向上）AB :水平q 0B 点：下跳qa，水平C点：连续2D点：上跳qa2,（校核：回到零点）33.M 图A点：0AB :直线斜上1B点：Q图左边面积-qa23BC :直线斜下1C 点：Q图左边面积 -qa2，外力偶顺时针，上跳qa23CD直线斜下D点：Q图左边面积+外力偶=0校核：回到零点例：Q图：A :上跳qaAB:水平B :连续BC :直线斜下C :左载荷图（负）面积下跳3qaCD:水平D :上跳4qa回零（回零校核很重要）M图：（从零开始）A :上跳3qa2AB :斜上直线B : Q左图面 积 3qa2 4qa2E : Q图零点，1 2M图极值4 qa24BC :
9、曲线，（q 0, “顶肚 皮”）C : Q左边面积 3qa2 4qa2CD :斜下直线D : Q图左边面积3qa20，回零点作校核 例：梁间铰，Q连续，M： =01.求反支力Ra qa，Ma qa（注意必须折开，先分析BD段）2.Q 图A :上跳qaAB :水平B :连续（无须考虑铰）BC :斜下:下跳qa2:q 0:回至U 0C :（载荷图qa BC段面积）=0，连续 BC : q 0CCD:斜上CDD :载荷图左边面积 qa qaD精选文本下跳qa到零3. M图：A :下跳qa2B : -qa+Q图左边面积等于零（不须考虑铰，但该出等于零可作校核） 思考：为什么画剪力、弯矩图时不须考虑中间
10、铰答：求约束反力时已利用了中间铰条件，中间铰处M=0可作校核。例：三角形分布载荷的剪力、弯矩图1. 载荷图（题中为工程载荷图，此处数学坐标形式）（将载荷图用数学坐标形式表示，有助于利用微积分关系画剪力弯矩图）两点式：yo q0,ya 0y q。y X q。a2. 剪力图A 点：上跳qoaAC点：qod 2 Q(由载荷图d Qdx2dqdx下跳q0a(d2Qdx2CB也0) dx点：上跳qoa到0,校核3.弯矩图:抛物线面积(1),aqo 212ox dxqa ；a3(2),fqa2。例(P159, 5.5a):剪力、弯矩图的反问题，已知 Q M图，求q图Q:2qa（1）利用剪力图画集中力和分布
11、力A点：上跳2q0a，代表向上集中力2q0aq dQ Q图斜率2qa q0，代表向下均布载荷q0dx2a 利用弯矩图画集中力偶 A点和B点均下跳q0a2代表此两点都作用有逆时针力偶q0a2（3） 受约束的静定梁形式不是唯一的，见图示两例。微积分关系也用于作刚架的剪力、弯矩图。一一刚架可看作分段的梁第11单元内力及内力图小结融汇贯通所学知识，熟练掌握内力图画法.内力（广义）N、T、Q、M （轴力、扭矩、剪力、弯矩）1力学：平衡关系理力：刚体的平衡，求约束反力（外力） 材力：构件一部分的平衡，求内力（截面法）（将构件另一部分看作约束，与理力求约束反 力的相同）刚体平衡：代数方程微段的平衡：微分关系式取研究对象后：由刚化原理、可应用刚体的 平衡方程（从这个角度认识问题，就不必再归纳： 在变形体力学中，力的可传性原理适用吗？力系是 否可简化等等问题）2. （从）数学（角度）：内力函数及其图象（1） 内力符号（a） NT、Q与坐标无关，需标正负号。（b） M与坐标相关（凹凸性暗含了坐标上指还是下指），标正负号，画在受压侧，物理属性与坐标无关。作图a. 利用内力函数（Q、M方程，T、N方程）微分关系定线形b. 直接作图 积分关系求段值（也可由截面法）c. 刚架一一看作
