《苏州九年级数学二次函数的专项培优-易错-难题练习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏州九年级数学二次函数的专项培优-易错-难题练习题（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏州九年级数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题一、二次函数1如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.【解析】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线
2、解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标详解：（1）依题意得：，解得：，抛物线的解析式为.对称轴为，且抛物线经过，把、分别代入直线，得，解之得：，直线的解析式为.（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值
3、最小，把代入直线得，.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.（3）设，又，若点为直角顶点，则，即：解得：，若点为直角顶点，则，即：解得：，若点为直角顶点，则，即：解得：，.综上所述的坐标为或或或.点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题2如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线
4、段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
5、（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明OMPPNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），OE平分AOB，AOB=90，AOE=45，AOE是等腰直角三角形，AE=OA=
6、3，E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PGy轴，交OE于点G，G（m，m），PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，S四边形AOPE=SAOE+SPOE，=33+PGAE，=+3（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，-0，当m=时，S有最大值是；（3）如图3，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得OMPPNF，OM=PN，P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，P的坐标为（，）或（，）；如图4，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PN=FM，则-m2+4m-3=m-
7、2，解得：x=或；P的坐标为（，）或（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题3如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）3；（2）yx23；（3）M的坐标为（3，6）或（，2）【解析】【分析】（1）把C（0，3）代入直线yx+m中解答即可；（2）把y
8、0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可【详解】（1）将C（0，3）代入yx+m，可得：m3；（2）将y0代入yx3得：x3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，3）、（3，0）代入yax2+b中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：yx23；（3）存在，分以下两种情况：若M在B上方，设MC交x轴于点D，则ODC45+1560，ODOCtan30，设DC为ykx3，代入（，0），可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；若M在B下方，设MC交x轴于点E，则OEC45-1530，OEOCtan603，设
9、EC为ykx3，代入（3，0）可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M2（，2）综上所述M的坐标为（3，6）或（，2）【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键4如图所示，抛物线的顶点为，与轴交于、两点，且，与轴交于点求抛物线的函数解析式；求的面积；能否在抛物线第三象限的图象上找到一点，使的面积最大？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由【答案】 ；点的坐标是【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点即可；(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点作轴于点，交于点，线段PF的长度即为两函数值之差，将
10、的面积计算拆分为即可.【详解】设此函数的解析式为，函数图象顶点为，又函数图象经过点，解得，此函数的解析式为，即；点是函数的图象与轴的交点，点的坐标是，又当时，有，解得，点的坐标是，则；假设存在这样的点，过点作轴于点，交于点设，则，设直线的解析式为，直线过点，解得，直线的解析式为，点的坐标为，则，当时，有最大值，此时点的坐标是【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF最大进行理解.5如图，在平面直角坐标系中，ACB=90，OC=2OB，tanABC=2，点B的坐标为（1，0）抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是
11、直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x23x+4；（2）P（1，6），存在，M（1，3+）或（1，3）或（1，1）或（1，）【解析】【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PDx轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三
12、种情况：ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标【详解】解：（1）B（1，0），OB=1，OC=2OB=2，C（2，0），RtABC中，tanABC=2， ， AC=6，A（2，6），把A（2，6）和B（1，0）代入y=x2+bx+c得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x23x+4；（2）A（2，6），B（1，0），AB的解析式为：y=2x+2， 设P（x，x23x+4），则E（x，2x+2），PE=DE， x23x+4（2x+2）=（2x+2），x=-1或1（舍）， P（1，6）；M在直线PD上，且P（1，6），设M（1，y）， B（1，0），A（
13、2，6）AM2=（1+2）2+（y6）2=1+（y6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2， AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当AMB=90时，有AM2+BM2=AB2，1+（y6）2+4+y2=45， 解得：y=3，M（1，3+）或（1，3）；ii）当ABM=90时，有AB2+BM2=AM2，45+4+y2=1+（y6）2， y=1，M（1，1），iii）当BAM=90时，有AM2+AB2=BM2，1+（y6）2+45=4+y2， y=，M（1，）；综上所述，点M的坐标为：M（1，3+）或（1，3）或（1，1）或（1，）【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求
14、二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用6如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）（）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q也在抛物线上，求点Q的坐标；（）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标【答案】（1）y=x2+4x+5，A（1，0），B（5，0）；（2）Q（，4）；（3）M（1，8），N（2，13）或M（3，8），N（2，3）【解析】【分
