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1、高一数学二次函数的综合问题人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数的综合问题二. 教学重难点：含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。【典型例题】例1 求函数在上的最大值。解：函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；（2）；（3） 时的草图。由图易知：；即例2 已知函数（1）设A、B是的两个锐角，且、是方程的两个实根，求证：；（2）当时，函数的最大值是8，求的值。证明：（1）方程即为依题意，得（2） 而 当时，取得最大值由题意知 例3 已知函数（、，），当时，恒有，且对于任意实数、，总有，求函数
2、的解析式。解：由，得F（0）=0在中，令，得 是偶函数因此 又在上恒有所以，即，亦即又 ，故例4 已知二次函数满足条件及（1）求；（2）求在区间上的最大值和最小值解：（1）设，由，可知 故由得，因而， 所以（2） ，所以当时，的最小值为当时，的最大值为例5 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销售量（万件）与售价（元）的关系如图所示。（1）写出销售与售价的函数关系式；（2）当售价定为多少时，月利润最多？（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还
3、清转让费？解：（1）根据函数图象得（2）设月利润为W（万元），则当时，故时，当时，故时， 当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元。（3）设最早个月后还清转让费，则， 企业乙最早可望20个月后还清转让费。例6 是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数？解法1：设，则原函数转化为那么问题就等价于是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数，根据二次函数的性质知，只需，故解法2：任取，则 由在上是减函数可知，对任意的（*）恒成立所以有恒成立，即恒成立 因此，当时，（*）恒成立即当时，函数在上是减函数仿上可得当时，函数在上是增函数故存在常数，使函数在上是减函数，且在上是增函数。例7 已知函
4、数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围解：（1）当时，先证在区间上为增函数（略） 在区间上的最小值为（2）解法1：在区间上，恒成立恒成立，在上递增 当时，于是当且仅当时，函数恒成立，故解法2：，当时，函数的值恒为正当时，函数递增，故当时，于是当且仅当时，函数恒成立故，综上，的取值范围是例8 已知函数（）的图象上有两点A（，）、B（，），且满足，。（1）求证：（2）求证：的图象被轴所截得的线段长的取值范围是证明：（1）即 或 或是 即的实根于是即 将代入上述不等关系，得，即，又 必有，（否则与矛盾） （2）设两根为、，则一个根为1（ ），另一根为， 且由上知，
5、 ， ，【模拟试题】（答题时间：70分钟）一. 选择题：1. 设二次函数（），如果（其中），则等于（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点在轴上，且、为的三边长，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形3. 已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，是二次函数的图象，则等于（ ）A. B. C. D. 无法确定5. 与（）的图象只可能是（ ） 6. 若为偶函数，则在区间（，）上（ ）A. 是增函数 B. 是减函数 C. 增减性随的变化而改变 D. 无单调性二. 填空：1. 已知函数，给出下列命
6、题： 必为偶函数 当时，的图象必关于直线对称 若，则在区间上是增函数 有最大值其中正确命题的序号是 。2. 若，的图象关于直线对称，则 。3. 函数（）的反函数的定义域是 。4. 函数，当时是减函数，当时是增函数，则 。三. 解答题：1. 已知二次函数的图象与直线有公共点，且不等式的解是，求、的取值范围。2. 已知函数在区间0，2上有最小值3，求的值。3. 已知函数（1）当时，；当时，求、的值及的表达式；（2）设，取何值时，函数的值恒为负值？4. 设函数（），且方程有实根。（1）证明：， （2）若是方程的一个实根，判断的正负并加以证明。5. 已知函数（，、），设关于的方程的两根为、，的两实根为
7、、。（1）若，求、关系式；（2）若、均为负整数，且，求解析式；（3）若，求证：【试题答案】一. 1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. A二.1. 2. 6 3. 4. 19三.1. 解：依题意有解，故，又不等式的解是， 且有， ， ，代入得， ，故得、的取值范围为，2. 解： 当时，即时，函数在上是增函数 ，由，得 当，即时，由，得，舍去 当，即时，函数在上是减函数，由，得 综上所述，或3. 解：（1）由题意知，即两式相减并注意到，解得， ， （2）要使 恒小于零必须 时，恒为负数4. 证明：（1）又，故方程有实根，即有实根，故即或 ，由知（2） （如图） 的符号为正5. 解：（1）由条件，（，、）有两实根为、则， （，、）（2）由（1）得，因、均为负整数则或或 （3）由已知易得， 由且，故 用心 爱心 专心
