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1、2020 学年普通高中高三教学质量监测理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由得： ，由得： ，有 ，则 ，选.2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】由于 ，则 ，选.3. 已知两个随机变量，之间的相关关系如下表所示：根据上述数据得到的回归方程为，则大致可以判断（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】C【解析】根据随机变量 之间关系在表格中的数据可以看出，随 的
2、增大而增大，因此，由于 ， = .选 ；本题也可根据散点图观察求解.【点睛】根据散点图可以大致观察出回归直线的位置，借助回归直线必过样本中心点 ，根据散点图观察回归直线的斜率为正，得出 ，利用计算的数据判断得出.4. 已知向量，若，则（ ）A. 9 B. 3 C. D. 【答案】D5. 已知等比数列的前项积为，若，则的值为（ ）A. B. 512 C. D. 1024【答案】A【解析】 ,则 ，而 ，选.【点睛】本题考查等比数列的性质，注意表示数列的前 项的积，注意等比数列的性质，有 的灵活应用，还要注意对数的运算法则，运算时小心符号，以免出错.6. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（
3、）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】开始运行程序，满足 ，满足 ， ，满足 ， ，满足，满足 ，不满足 ，输出,选.7. 已知三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以平面为投影面，得到的俯视图可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】点在的投影为，点在的投影为，在的投影为，在的投影为，连接四点，注意实线和虚线，得出俯视图，选C 8. 已知过点的直线与圆：相切于点（在第一象限内），则过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于圆的切线垂直于过切点的半径，点与圆心距离为4，圆的半径为2，
4、得切线的倾斜角为 ，切点为 ，过点且与直线垂直的直线的方程为，即：.选.9. 函数的图象的大致形状为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】利用偶函数的定义可以判断该函数为偶函数，图象关于 轴对称，排除 ，取 ，选 .【点睛】10. 已知函数 ，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于， ， ,， ，则， ，选 11. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、，点关于双曲线的一条渐近线的对称点在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】设
5、，渐近线方程，对称点， ， ，解得： ，代入到双曲线方程得: ,化简得： ，选. 12. 定义在上的函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，若关于的不等式 在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于定义在上的函数的图象关于轴对称，则函数为偶函数.，原不等式化为： 偶函数在上单调增，则在上单调减，图象关于轴对称，则： ， ， ,故 ， ，设 ， ，易知当 时，则 ；令 ， ， ，在 上是减函数， ，则 ，综上可得： ，选D.【点睛】借助函数的奇偶性和单调性解不等式或比较大小是常见考题，本题首先借助函数的奇偶性和单调性转化把不等式进行转化，然后利用最值原理解决
6、恒成立问题，利用导数求出函数的最值，求出参数的取值范围. 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，含项的系数为_（用数字填写答案）【答案】【解析】 展开式中含项为，含项为，含项为， 的展开式中，含项的系数为.【点睛】利用二项式定理求二项展开式中的某些指定项，本题先利用二项式定理的通项公式求出 的展开式中项的系数，然后利用多项式乘法得出含项的系数.14. 已知实数，满足，则的取值范围为_【答案】【解析】先画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数为斜率型目标函数，最优解为,的取值范围为 .15. 各项均为正数的数列的前项和为，且满足 ，则 _
7、【答案】【解析】 , 则 【点睛】遇到二次三项式首先要考虑能否因式分解，这一步可是问题大大简化，数列求和有裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法等.本题使用的是裂项相消法.16. 如图所示，三棱锥中，是边长为3的等边三角形，是线段的中点，且，若，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】三棱锥中，是边长为3的等边三角形，设的外心为，外接圆的半径，在中，满足，为直角三角形，的外接圆的圆心为，由于，为二面角的平面角，分别过两个三角形的外心作两个半平面的垂线交于点，则为三棱锥的外接球的球心，在中，则，连接，设，则，.【点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直
8、时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在中，角、的对边分别为、，且、成等比数列， .（）求的大小；（）若，求的周长和面积.【答案】（）（）【解析】（）依题意，故或，所以或（舍），故.（）已知，则 ，因为、成等比数列，所以，所以三角
9、形的周长为， .【点睛】有关正余弦定理应用问题是高考高频考点，巧妙利用正弦定理进行边转角、角转边，借助三角函数知识求出角；利用余弦定理沟通边角关系，借助题目条件以及面积公式求出面积.18. 每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图.男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）（）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（）若年不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性
10、别的关系，完成下列列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；（）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为，求的分布列和期望.附：，其中【答案】（）38.（）没有99%的把握（）【解析】（）前三组频率之和为：，中位数位于第三组，设中位数为，由题可知：，解得.该校女生年阅读量的中位数约为38.（） ，没有99%的把握认为阅读丰富与性别有关.（）年阅读量在的学生中，男生2人，女生4人.由题意得的可能取值为0,1,2.，.所以的分布列为 .【点睛】频率分布直方图、独立性检验、回归方程、列出概率分布列求出期望和方差是高考统计题常考内容，要求会利用
11、频率分布直方图求出三个统计量：众数、均值及中位数;要求会列列联表，计算并判断相关关系，要求会列概率分布列，求出期望和方差.19. 如图，已知矩形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点，现沿着翻折，使得二面角大小为.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值. 【答案】（）详见解析（）【解析】（）取的中点，连接，又为的中点，所以，平面，平面，所以平面，同理可证，平面，又因为，所以平面平面，平面，所以平面.（）在平面内，过点作的垂线，易证明这条垂线垂直平面，因为二面角大小为，所以，建立空间直角坐标系如图所示，则，则，设平面的一个法向量，根据 ，令，则，所以，设平面的一个法向量，根据 ，令，则，所以，所以
12、 ，所以二面角的余弦值为.【点睛】证明线面平行有两种方法，法一是利用判定定理，寻求线线平行；法二是寻求面面平行，本题是通过面面平行去证明线面平行.求二面角常用空间向量去求，先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两个半平面的法向量，再利用公式求出二面角的余弦值.20. 已知椭圆：（）的离心率为，点是椭圆的上顶点，点在椭圆上（异于点）.（）若椭圆过点，求椭圆的方程；（）若直线：与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过点，证明：存在，.【答案】（）（）【解析】（）依题意，解得，故椭圆的方程为.（）由椭圆的对称性，不妨假设存在，使得.由题意得，椭圆：，联立直线与椭圆的方程可得：，解得，所以，因为， ，
13、 ，即.记，又，所以函数存在零点，存在，使得.【点睛】先列方程组求出写出椭圆的标准方程，根据直线与椭圆相交，联立方程组后代入整理，求出点的横坐标，得出，由于，把替换为，得出，借助，得出关于的方程，构造函数利用零点原理说明函数存在零点，从而说明实数存在.21. 已知函数，其中.（）讨论函数的单调性；（）证明： （，）.【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】（）函数的定义域为， .令，记，当时，得.若，则，此时函数在上单调递减.当时，由得或.显然.故此时函数在上单调递增，在和上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递减.（）令，由（）讨论可得函数在区间上单调递减，
14、又，从而当时，有，即.令，则 ，从而 ，则有 ，可得 .【点睛】首先确定函数的定义域，求导，对参数分情况讨论函数的单调区间；利用函数在区间上单调递减，说明不等式，以这个不等式为基础，令，得出不等关系后，对，再进行叠加得出所要证明的不等式，本题是导数与证明数列不等式综合问题，关键是利用导数证明函数不等式，在函数不等式的基础上令，得出关于的不等关系，在对 得出的一列不等式进行叠加或叠成，得出所要证明的不等式，有一定的难度，常常作为压轴题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（）若直线（）与曲线交于，两点，求线段的长度.【答案】（） ，
