《高中数学 （1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质）示范教案 新人教A版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 （1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质）示范教案 新人教A版必修（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析 对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用. 由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质. 正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公
2、式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方
3、法.教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课 思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷,反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课. 思路2.取出一个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针
4、每经过一周就会重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,在代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2k)=sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始”变化的代数刻画,由此引出周期函数的概念.推进新课新知探究提出问题 问题正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是,又是怎样周期性变化的?问题阅读教材并思考:怎样从代数的角度定义周期函数? 活动
5、:教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规律,有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2就重复一次. 对问题,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答.教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定,鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.图1 问题,从图象上能够看出,但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作
6、出代数描述,这对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如: sin(+2k)=sin,cos(+2k)=cos,kZ. 这表明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k0时)或减少(k0,xR)的周期为T=.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(x+2)=Asin(x+)+=Asin(x+).于是有f(x+)=f(x), 所以其周期为.例如,在第(3)小题,y=2sin(x-),xR中,
7、=,所以其周期是4.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是y=sinx的周期为2. 根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第(3)小题:T=4.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法.变式训练1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11).解:因为5是函数f(x)在R上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由题意知,3是函数f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+23)
8、=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1 判断函数f(x)=2sin2x+cosx,xR的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少? 活动:本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使f(x+T)=f(x)成立的T的值.学生可能会很容易找出4,2,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周期呢?教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做不出,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决.解:因为f(x+)=2sin2(x+)+cos(x+)=2sin2x+cosx=f(x).所以原函数是周期函数,最小正周期是. 点评:本题能很容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.虽然将4,2带入公式后也符合要求,但还必须进一步变形,即f(x)中的x以x+代替后看看函数值变不变.为此需将, 等都代入试一试.实际上,在f(x)=2sin2x+cosx,xR中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而肯定是原函数的一个周期.变式训练1.求函数y=2sin(-x)的周期.解:因为y=2sin(-x)=-2sin(x-),所以周期T=6.2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2.证明:(反证法)先证正弦函数的最小正
