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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标2卷）数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，,则（ ）A B C D【答案】A考点：集合的运算2若为实数且，则（ ） A B C D【答案】B【解析】试题分析：由已知得，所以，解得，故选B考点：复数的运算3根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年190020002100220023002400250026002700A
2、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007年我国治理二氧化硫排放显现C2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D考点：正、负相关4等比数列an满足a1=3， =21，则 ( )A21 B42 C63 D84【答案】B考点：等比数列通项公式和性质5设函数,( )A3 B6 C9 D12【答案】C【解析】试题分析：由已知得，又，所以，故，故选C考点：分段函数6一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图
3、，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A B C D【答案】D【解析】试题分析：由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D考点：三视图7过三点，的圆交y轴于M，N两点，则( )A2 B8 C4 D10【答案】C【解析】由已知得，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C考点：圆的方程8右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的( )a ba = a - bb = b - a输出a
4、结 束开 始输入a，ba b是是否否A0B2 C4 D14【答案】B【解析】试题分析：程序在执行过程中，的值依次为，；，此时程序结束，输出的值为2，故选B考点：程序框图9已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】试题分析：如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C考点：外接球表面积和椎体的体积10如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（
5、 ）DPCB OAx【答案】B【解析】考点：函数的图象和性质11已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：设双曲线方程为，如图所示，过点作轴，垂足为，在中，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D考点：双曲线的标准方程和简单几何性质12设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：记函数，则，因为当时，故当时，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且当时，则；当时，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，
6、故选A考点：导数的应用、函数的图象与性质第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13设向量，不平行，向量与平行，则实数_ 【答案】【解析】试题分析：因为向量与平行，所以，则所以考点：向量共线14若x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为考点：线性规划15的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则_【答案】【
7、解析】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得考点：二项式定理16设是数列的前n项和，且，则_【答案】【解析】试题分析：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以考点：等差数列和递推关系三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍() 求；()若，求和的长 【答案】()；() ()因为，所以在和中，由余弦定理得，由()知，所以考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理18（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到
8、用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；A地区B地区456789（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的
9、满意度等级高于B地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率【答案】（）详见解析；（）【解析】试题分析：（）将两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并根据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小；（）事件“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”分为两种情况：当B地区满意度等级为不满意时，A地区的满意度等级为满意或非常满意；当B地区满意度等级为满意时，A地区满意度等级为非常满意再利用互斥事件和独立事件的概率来求解试题解析：（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下A地区B地区4567896 81 3
10、6 432 4 5 5 6 4 23 3 4 6 96 8 8 6 4 33 2 19 2 8 6 5 11 37 5 5 2表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”则与独立，与独立，与互斥，由所给数据得，发生的概率分别为，故，故考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件19（本题满分12分）如图，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形DD1C1A1EFABCB1（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）【解析】试题分析：（）由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；（）由交线
11、围成的正方形，计算相关数据以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，并求平面的法向量和直线的方向向量，利用求直线与平面所成角的正弦值试题解析：（）交线围成的正方形如图：（）作，垂足为，则，因为为正方形，所以于是，所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则即所以可取又，故所以直线与平面所成角的正弦值为考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角20（本题满分12分） 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为 ()证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否
12、为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由【答案】()详见解析；（）能，或【解析】试题分析：()题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；（）根据()中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值试题解析：()设直线，将代入得，故，于是直线的斜率，即所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值（）四边形能为平行四边形因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，由()得的方程为设点的横坐标为由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是解得，因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系21（本题满分12分）设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围【答案】()详见解析；（）【解析】试题分析：()先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即可；（）恒成立，等价于由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由()可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解考点：导数的综合应
