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1、线性代数性质定理复习第一章 行列式本章重点是行列式的计算，对于n阶行列式的定义只需了解其大概的意思。要注重学会利用行列式 的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探 索。1、行列式的性质D = Dt（1）行列式与它的转置行列式相等，即（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。k k（4） 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；换句话说，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子可提到行列式记号之外。（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）上，
2、行列式的值不变。（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。2、行列式的按行（按列）展开（1）代数余子式：把n阶行列式中a i jn 一 1元ij所在的第行和第列划掉后所剩的阶(i, j )行列式称为(i, j )为a元ij的余子式,M A = (-1+j M a记作 ij ；记 ijij，则称 ij元壮的代数余子式。（2）按行（列）展开定理ni阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和，即可按第D = a A + a A +.+a A , （i =n）行展开：i1 i1 i 2 i 2in in也可按第j列展开：D = a A
3、 + a A +. + a A , （j = 1，2，.，n）1j 1j2j 2jnj nj（3）行列式中任意一行（列）的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即a A + a A+.+a A=0,（i丰 j）订 j1 i 2 j 2in jna A + a A+.+a A,（i丰j）或 1i 1 j 2 i 2 jni njx i, (i = 1,2,.,n) d D i3、克拉默法则：id，其中i是把 中第 列元素用方程右端项替代后所得到的行列式。4、常用的行列式上(下)三角形行列式等于其主对角线上的元素的乘积；特别，(主)对角行列式等于其对角线上各 元素的乘积。学会利用行列
4、式各性质将行列式化为三角形，以方便计算。第二章 矩阵及其运算了解矩阵的加法数乘矩阵与矩阵相乘 矩阵的转置和方阵的行列式等概念。本章重点是要熟练 掌握矩阵的线性运算(加法与数乘)、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式及其运算规律；掌 握可逆矩阵的概念以及矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。1、矩阵的运算(A,B,C e M )矩阵加法满足mnA + B B + A(A + B) + C A + (B + C)(人ye R, A, B e M )数乘矩阵满足mn九(卩A )=(九卩)A(九+ y)A -九A + yA1(A + B )=1 A + 九 B(1)(
5、a)(b)(2)(a)(b)(c)(3)(a)(c)矩阵与矩阵相乘满足(前面矩阵的列数=后面矩阵的行数(AB)C A (BC )A (B + C ) = AB + AC(1A )B A (1B )=1(AB )注意：AB 丰 BA AB BAA, B(a) 一般情况下，；若，则称是可交换的。AB 0 A, B(b) 即便，可以都不是零矩阵。矩阵的转置满足(a)- A(A + B )T = At + Bt(九 A)T =X At(c)(AB )t = BtAt(d)(e) ATJA = 0 O AAT = 0 O A = 0a kA e M(5)方阵的幂(k为正整数，n )均为正整数）。AkAl
6、 = Ak+1 ； Ak 丿=Akl(a) ij(其中Aij是(a)元的代数余子式。伴随阵的性质：AA* = A*A = A E(b)(c)1A 主 0 A-1 =A*, A* = A A-i，则A(A-1 = (A* -1 =1 AA(d)a*=AL (At ) = (A*(e)3、克拉默法则的矩阵表示A主0则方程组Ax = b有唯一解兀初A*b第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章重点是要熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形的方法，并熟练掌握用矩阵初 等行变换求解线性方程组的方法。理解矩阵的秩的概念，并掌握用矩阵初等变换求矩阵的秩的方法。理解非齐次线性方程组无解、有唯一解或无穷多
7、解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条 件。1、定义初等行变换：知r； rx k ； r+化)o c ; c x k; c + kc)初等列变换:IjIIj;A B A B初等变换： ，即 与 等价，秩相等。2、矩阵的秩Ar AR (A)二 r(i) 矩阵的最高阶非零子式的阶数，称为矩阵的秩，记作。R(A)= r o Aro A的最简形含 个非零行的标准形f E0 )r00 丿。mxn(3)矩阵的秩的性质：(a)0 R(A) minm,nmxn。R At )= R (A )(b)A B o R (A ) = R(B )foR (PAQ ) = R(A)(d)若P，Q可逆，则(e)max
8、r(A),R(B)R(A,B)R(A)+ R(B)特B = bR (A ) R (A, b ) R (A )+1R (A + BR (A )+R (B )(f)oR (AB ) min r (A ), R (B )(g)oA B = 0 R (A )+ R (B ) n(h) 若 mxn nxl，贝U3、线性方程组理论nAx 二 bR (A ) = R (A,b )(i) /元非齐次线性方程组有解的充要条件齐，当时有R (A ) = R (A, b ) = nR (A ) = R (A, b ) n时有唯一解；当R（A ） R（A,b ）无穷多解；无解的充要条件是。只有零解的充要nAx = 0
9、R（A） n（2）元齐次线性方程组有非零解的充要条件是R（A ） = n3）二/有解的充要条件是R（A）=R（A /）条件是第四章向量组的线性相关性在本章学习中，要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间的转换，突出的典型问题 b ,b ,b = a ,a ,aK , （B = AK）是对1 2l12 7 / 7mmxl所作的解释：BAK矩阵语言：是 与的乘积矩阵；KAX = B方程语言：是矩阵方程的一个解；BAK几何语言：向量组能由向量组线性表示，是这一表示的系数矩阵。理解向量组线性组合以及一个向量（或向量组）能由一个向量组线性表示的概念，特别地，要熟悉这 些概念和线性方程组的联系。理解
10、向量组线性相关和线性无关的概念，并熟悉它们与齐次线性方程组的联 系。理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组和秩。本章的另一个重点是理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并能熟练地求出基础解系，理解齐次与非n次线性方程组通解的构造1、维向量、向量组n a , a ,个有次序的数12,ann构成的有序数组称为维向量，记作aT =a aT与分别称为列向量和行向量，也就是列矩阵和行矩阵。若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组。含有有限个向量的向量组可以构成一个矩 阵。2、线性组合与线性表示b A:a ,a ,a（1）向量能由向量组2m线性表示xa +
11、x a +. + x a =b Ax = b )o方程组1122m m有解_R(a ,a ,a ) = R(a ,a ,a ,b)o12m12m(定理1B: b ,b ,b A:a ,a ,a 一(2)向量组1 2、l能由向量组1、2/m线性表示矩阵方程有解(定理2OR 3：组 (B )t R 组ab B)价(能相互线性表(a ,a ,a )X = (b ,b ,b ) (AX = B) o R (A ) = R (A, B )B AR (B ) R (A )(4)若向量组能由向量组线性表示，则。(定理33、线性相关与线性无关线性相关A:a ,a ,a向量组12mo齐次线性方程组xa + x
12、a +. + x a = 0 (Ax = 0)11/ 2 2m m有非零解R(a ,a ,a )m(定理4O 12 严 、a , a ,，a 向量/且12、a (1 j 2)m线性相关的充要条件是存在某个向量m 一 1，它能由其它个向量线性表示。4、向量组线性相关性的重要结论a ,a ,aa ,a ,a ,a ,a(1)向量组 2s线性相关，则向量组 2ss+1m也线性相关。(定理5-1(2) m个n维向量组成的向量组，当m n，即个数大于维数时一定线性相关。(定理5-2线性相A:a ,a ,aa ,a ,a ,b(3) 设向量组12m线性无关，而向量组12mb A关，则向量 必能由向量组线性表示，且表示式是唯一的。(定理5-35、向量组的最大
