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1、一元二次不等式及其解法典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1. 解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一：因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.方法二： 或解得 或 ，即或.因而不等式的解集是.（2）方法一：因为，方程的解为.函数的简图为：所以，原不等式的解集是方法二：（当时，）所以原不等式的解集是（3）方法一：原不等式整理得.因为，方程无实数解，函数的简图为：所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：原不等式的解集是.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函
2、数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1) ；(2) (3) ； (4) .【答案】（1）方法一：因为方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是：.方法二：原不等式等价于, 原不等式的解集是：.（2）整理，原式可化为,因为,方程的解，函数的简图为：所以不等式的解集是.（3）方法一：因为方程有两个相等的实根：，由函数的图象为：原不等式的的解集是.方法
3、二： 原不等式等价于：, 原不等式的的解集是.（4）方法一：因为，方程无实数解，由函数的简图为：原不等式的解集是.方法二：， 原不等式解集为.【变式2】解不等式：【答案】原不等式可化为不等式组 ，即，即，解得原不等式的解集为.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集。思路点拨:由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 解析：由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，化为，即，解得，故不等式的解集为.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我
4、们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+120的解集为x|-3x2，则a=_, b=_。【答案】由不等式的解集为x|-3x2知a0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为30, 对一切实数x成立，符合题意。若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-50即 m1且m-5时，由此一元二次不等式的解集
5、为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以， 即， 1m19。 综上所述，实数m的取值范围是m|1m0； （3）x2-(a+1)x+a0，即a2或a-2时，原不等式的解集为当=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为。当0，即-2a2时，原不等式的解集为R。（3）(x-1)(x-a)1时，原不等式的解集为x|1xa 当a1时，原不等式的解集为x|ax1 当a=1时，原不等式的解集为。总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，
6、要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：【答案】原不等式化为a=1或a=-1时，解集为；当0a1 或a1或 -1a0时，若， 即时，；若， 即时，xR； 若， 即时，.当a0时，则有：， 。【变式2】解关于x的不等式：ax22x-10时，则0，.a0时，若a0，0， 即a-1时，xR；若a0，=0， 即a=-1时，xR且x1；若a0， 即 -1a0【答案】若a=0，原不等式化为-x+10，解集为x|x1；若a0，原不等式为关于x的一元二次不等式.方程的判别式=1-4a ()当=1-4a0，即时，方程有两个不等实数根，当时，函数的图象开口向上，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；当a0时，函数的图象开口向下，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；综上所述：a0时，原不等式解集为；a=0时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为实数集R.
