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1、高等数学下册习题常见类型题型1求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积题型2由已知条件求平面与直线方程题型3计算一阶偏导数及高阶偏导数题型4求多元复合函数的偏导数题型5求方程所确定的隐函数的偏导数题型6求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面题型7求极值、利用拉格郎日乘数法求最值题型8利用直角坐标计算二重积分题型9利用极坐标计算二重积分题型10计算带绝对值的二重积分题型11利用二重积分证明恒等式题型12利用对称性质计算二重积分题型13 只有一种积分次序可计算的积分例1、求2公虹易+4西2_业以 1 y 2 y解：(将二次积分交换顺序)j 2 於!y + j 亳J 2 sy 顼炬 d
2、xdy + jj 互 dxdy1 r y 2.yyyD1D2sin 兀 y2V2 sin 兀 y2 /= JJ dxdy = J dyjy -dx = J 2(y- 1)sin兀ydy = cos1 -sin1y1 y y 1D1U D2题型14利用投影法计算三重积分题型15利用柱坐标计算三重积分题型16利用球坐标计算三重积分题型17利用切片法计算三重积分题型18利用三重积分计算立体的体积题型19计算对弧长的曲线积分题型20计算对面积的曲面积分题型21计算对坐标的曲线积分题型22利用格林公式计算对坐标的曲线积分题型23曲线积分与路径无关及全微分求积题型24计算对坐标的曲面积分题型25利用高斯公
3、式计算对坐标的曲面积分题型26可分离变量的微分方程、齐次方程题型27 一阶线性微分方程题型29可降阶方程题型30二阶常系数非齐次线性方程第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量uur有大小、有方向.记作a或ABa = a i + a j + a k = (a , a , a )xr jzr x j z ra = prj a, a = prj a, a = prj axxJJz7模向量a的模记作aa =J a 2 + a 2 + a 2和差w c = a +bc = abc = a + b = ta 土 b , a 土 b , a 土 b xx JJ zz单位
4、向量a丰0，则e = aaa(a , a , a )a Ja 2 + a 2 + a 2方向余弦设a与x, j, z轴的夹角分别为以，P，y , 则方向余弦分别为cos以，cosp, cosyan aacos以=声，cosp =予，cosy =专aaae =(cos a，cosP，cosy)cos2 a +cos2 p + cos2y = 1点乘（数量积）a -b = ab cos。， 9为向量a与b的夹角a - b = a b + a b + a bx xJ Jz z叉乘（向量积）c = a x bc = |a|b| sin 9。为向量a与b的夹角 向量c与a , b都垂直a x b =ij
5、kaaabbb定理与公式垂直a b = a - b = 0a b o a b + a b + a b = 0x xy vz z平行a II b o a x b = 0 a a a a II b o = y = f b b bxvz交角余弦a - b两向量夹角余弦cos 9 =口曲 同同cos 9 =a b + a b + a bJa 2 + a 2 + a 2 Jb 2 + b 2 + b 27 xyz J xyz投影向量a在三prja =作零向量b上的投影al cos(a a b) = ab1b. a b + a b + a b prj a = x | Xy vg-bJb 2 + b 2 +
6、 b 2方程名称一般式平面法向量 n = 4, B, C点 M 0 30, *, z 0)方程名称 方程形式及特征一般式Ax + By + Cz + D = 0直线方向向量=m,p点 M0(x0, y0, z0)方程形式及特征A x + B y + C z + D = 0A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0点法式A(x x ) + B( y y ) + C( z z ) = 0000点向式x - x0 = y - y0 = z - z0m n p三点式x - x1x - xx - xy y1L- y1y y31z - z1z - z2 1z - z3 1参数式x =
7、xo + 混 y = y0 + nt z = z + pt、0截距式面面垂直面面平行线面垂直两点式线线垂直线线平行x y z .+ + = 1a b cA/2 + b, B2 + C,C2 = 0A _ B C了 苛cABC m n p点面距离M (x , y , z ) Ax + By + Cz + D = 0d Ax + By + Cz + D A 2 + B 2 + C 2x x0 = y y0 = z z0 x - x y - y z - z101010m m + n n + p p = 0121-12线面平行Am + Bn + Cp = 0面面距离Ax + By + Cz + D =
8、 0 Ax + By + Cz + D = 0 d =D- DI- A2 + B2 + C2面面夹角耳= A,BCn = A2,B2,CJ八IAA + BB + CC Ico巧=12 1=12 =线线夹角s =m , n , p s =m ,n , p 111122:-|mm + n n + p p1 2 1 2 1 2线面夹角s = m, n, pn = A, B, Ccosp =、m2 + n.2 + p2 、m2 + n + p2|Am + Bn + Cpsin 9 =空间曲线x = 9 (t )，* y =w(t)， z = w(t )， (a t P)切向重T= (9(t 0),W(
9、t )q(t o)切，线，方程.二=二=二 /1土9(t ) W(t )(t )000法平“面”方程：9(t )(x-x ) +w(t )(y - y ) + s(t )(z - z ) = 0 000000* y = 9 (x) z =W (x)切向量T= (1,9(x), W(x)切“线”方程：=19( x 0) W( x 0)法平“面”方程：(x - x ) + 9(x ) (y - y ) +W(x )(z - z ) = 0 000001 A 2 + B 2 + C 2 . A 2 + B 2 + C 2 111222,lp A2 + B2 + C2 , y m2 + n2 + p2
10、F (x, j, z) = 0法向量r ,、n = ( F (x , j , z ), x 000I I 空间曲面F (x , j , z ),j 000F (x , j , z )z 000z = f (x, j)n = ( f (x , j ), x 00f (x , j ),1) y 00或rn = ( f (x0, j。)，f (x0, j0), 1)切平“面”方程：F (x , J , z )(x x ) + F (x , j , z )(j j )尤 0000 x 0000+ F (x , j , z )(z z ) = 0x 0000法“线“方程：x x 0= J J 0= z
11、- z 0F (x , j , z ) F (x , j , z ) F (x , j , z )x000 j000 z000切平“面”方程：f (x , j )(x x ) + f (x , j )(j j ) (z z ) = 0 x 000j 0000法“线“方程：x x, _ j j, _ z z。 f (x , j ) f (x , j ) 1x 00j 00第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分i顼f G, j扇D平面薄片的质量质量=面密度x面积(1)利用直角坐标系X型jj f (x, j )dxdj = jb dx f2(x) f (x, j )dja%(x)Y型jj
12、 f (x, j )dxdj = jd dj f 2( j)f (x, j) dxdc甲1(j)P141 一例 1、例 3(2)利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2 + j2)a, a为实数)妙F)e妃*Q t r； b rjj f (p cos0, p sin0)p dp d0=j P d0j 中2(0)f (p cos 0, p sin 0) p d pao (0)*1 /0 3 .V 1 .V -1-7-3_.V00 2兀00 KK 0 2兀P147例 5(3)利用积分区域的对称性与被积函数
13、的奇偶性当D关于y轴对称时，(关于x轴对称时，有类似结论)P141例 2应用该性质更方便I = r一一 一0f (x, j)对于x是可函数，艮(-x, j ) = f ( x, j ), 一一一2JJ f (x, j)dxdj f (x, j)对于 x是偶函数，D1即 f (x, j ) = f ( x, j )、是的右半部分计算步骤及注意事项1. 画出积分区域2. 选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3. 确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4. 确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5. 计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分I =jjj f 3, j, z)dvQ空间立
