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1、第四章 海洋中的声传播理论水声传播常用的方法： 波动理论(简正波方法)研究声信号的振幅和相位在声场中的变化； 射线理论(射线声学)研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频 但它能有效、清晰地解决海洋中地声场问题。4.1 波动方程和定解条件1、波动方程p唾= -Vp dt当介质声学特性是空间坐标的函数，则可得小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程dp = c 2 dp乡 + pV-U = 0状态方程可写为：生=c 2理dtdt由状态方程和连续性方程可得：丄並+pVU = 0c 2 dt利用运动方程从上式中消去u可得d2p 丄 Vp-Vp = 0c2 dt 2 p注意：当介质
2、密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式不同。引入新的从变量：9 =，则可得1 V 2 p3(Vp 22 p4I p丿=0V 29-丄叫c2 dt 2对于简谐波，d2/dt2 = O 2，则上式可写为：V 29 + K 2 (x , y , zi9 = 01 V 2 p 3(Vp)2式中，人=k2 + 2 p 4注意：申不是声场势函数，K也不是波数。在海水中，与声速相比密度变化很小，可将其视为常数，则K = k = O c(x, y , Z),于是V29 + k2(x, y , zip= 0V2p + k2(x, y , z)p= 0如果介质中有外力作用F，例如有声
3、源情况，则有V 2 申 + K 2 (x , y , z b =；P在密度等于常数时，有-vPV2 p + k2 (x, y , z )p = V - F上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程泛定方程。2、定解条件满足物理问题的具体条件定解条件。(一) 边界条件物理量在介质边界上必须满足的条件。1) 绝对软边界绝对软边界条件：声压为零()=0 不平整海面z =(x, y, t)界面方程表示为z =q(x , y , t)， p(x, y ,耳,t也称为第一类齐次边界条件如果已知边界面上的压力分布，则pC, y,耳,t) () = p，称为第一类非齐次边界条件。z =n(x , y , t)s2)
4、 绝对硬边界绝对硬边界条件：法向质点振速为零dp= 0 平整硬质海底z=0界面方程为表示z =n(x , y ,t),则硬边界条件为:(n - u) =u +u + u = o 不平整硬质海底 耳dx x dy y z也称为第二类齐次边界条件如果已知边界面上质点振速分布，则孚u +学u +u =u，称为第二类非齐次边界条件。 dx x dy y z s3) 混合边界条件混合边界条件：压力和振速线性组合(dp)+ apldn丿=f (s )阻抗型海底s若a为常数，则称为第三类边界条件。若f （s）= 0，则称阻抗边界条件：Z = -un注意|：负号的含义。（4）边界上密度或声速的有限间断边界上压
5、力连续和法向质点振速连续P =ps-0s+0/ 1 6p Qn丿s-0/1 Qp P Qn 丿s+0液态海底或同一种介质内部密度或声速发生突变若压力不连续，质量加速度区域无穷的不合理现象。 若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集”的不合理现象。注意：上述边界条件质限制波动方程一般解（通解）在边界上的取值。（二）辐射条件无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质辐射条件 （1）平面波情况平面波的辐射条件：穹+土jkq = 0Qx+2）柱面波和球面波情况 柱面波声辐射条件：limpr孚土 jg = 0r s Qr丿球面波声辐射条件：lim r壬 jg = 0rs Qr丿也称为索末菲尔德
6、（Sommerfeld）条件。注意：加减号取决于时间因子。（三）奇性条件对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即r T 0， p T8，它不满足波动方程；如 果引入狄拉克5函数，它满足非齐次波动方程V 2 p P = 4兀5 （r ）AejWfc2 Qt 2狄拉克5函数的定义i 5(r)dV =Vr = o包含在体积v内 r = o在体积v以内证明上述非其次波动方程正确性:对于简谐球面波，有V 2 p + k 2 p = 4兀5 (r Aejt对上式进行体积积分，有J V 2 pdV + k 2 f pdV = 一4兀Ae 网VV利用高斯定理：fv-Fdv = JF-nds，则有Vsf V
7、p - ndS + k 2 f pdV = 一4兀Ae 网sVJ 一 jkr一人-jkrr2dO+ k2J -e-jkrdV = 4ka s r2V r上式左端第二项积分为零，可证明左端与右端的值相等。结论：非齐次方程包含奇性定结条件。（四）初始条件当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。4.2波动声学基础1、硬底均匀浅海声场如图所示波导模型，上层为均匀水层，其厚 度为H,声速为c；下层为硬质均匀海底；海面 和海底均平整。点声源位于r （o, z）处。0 0（一）简正波由于问题的圆柱对称性，则水层中声场满足以下波动方程：1 d_ r drd 2 p dz2+ k2 p = o(dp)r I
8、 dr丿根据三维狄拉克5函数定义可以，在圆柱对称情况下，求得:令A = 1，则可得8 (rro)=旦 +1 並 + 空 + k 2 p = -2 8(r 从-z)dr 2 r dr dz2 0 r0令p(r , z)=Y R (r)Z (z),经分离变量求得，本征函数Z 0的通解为: n n nnZ (z)= A sin(k z)+ B cos(k z)0 z 1，n根据汉克尔函数的近似表达式：第n阶简正波为:(二)截止频率l rrgL rrL rrL rrL rrL由简正波水平波数表达式可得，其阶数最大取值为:当简正波阶数NN时，:为虚数，简正波p C , Z）的振幅随r作指数衰减，但衰减很
9、快，只有nn在r接近零时，才对解有贡献。因此，在远场，声场可以表示成有限项和：pC , Z)=-j-2生 sin(k Z)sin(k z.znzn 0临界频率：最高阶简正波的传播频率N兀C0-c0-2 H注意：声源激发频率N时，波导中不存在第N阶及以上各阶简正波的传播。截止频率：简正波在波导中无衰减传播的最低临界频率 =些/ = -C01 2 H1 4H声源频率叫时，所有各阶简正波均随距离按指数衰减，远场声压接近零。注意：对于绝对硬界面的平面波导，零阶简正波的截止频率为零，任何频率的声波均能在波导中 传播；若声波频率小于一阶简正波的截止频率，则波导中只有均匀平面波一种行波。（三）相速和群速相速
10、：等相位面的传播速度Cc =0Pn C n 戶厂臥n注意：浅海波导属于频散介质。群速度:dc = cgnd：pnndc.疋=co1 n简正波的群速小于相速。c随增加而减小；c pn加而增加。c和c满足：pngnc c= c2。pn gn 0简正波相速和群速的区别:简正波p可写成:nn丿()2八2冗.(p V , z =smVknH : r=一一sin k z 丿H 讨:r zn 0nznz)sin (k z 牛zn 0一工:zn zn 4-e - 丫 nr-k工 r -n 4简正波p在z方向上是由两个波迭加而形成的驻波。n平面波与z轴夹角等于:0 = arcsin n sin 0 =n = 1
11、 一 nkn kn zn 4相速：虚斜线沿r方向的传播速度c = c . sin0pn 0n群速：波形包络的传播速度c = c sin0pn 0n注意:波导为频散介质，导致脉冲波形传播畸变。(四)传播损失前面讨论的简正波表达式也用于c = cO情况，假设单位距离处声压振幅为1，则在远距离处的传播损失：TL = 10lg牢=101g兰霁Z (z)Z (z)e-心Ib丿 ： r n 0 nn=1 * n当Zn和：n均为实数时，上式等于:(z 0 廉(z L10lg 迓昔nHmn mZn (z0 X X C X (z -j 丄 n -一 m)ry 2冗TL = -10lgZ 2:r nn=1 n式中
12、，第二项的大小依赖于各阶简正波相位之间的相关程度，随距离作起伏变化；而第一项与之 无关，随距离单调增加。注意：声强随距离增加作起伏下降，呈现干涉曲线。当声传播条件充分不均匀，简正波之间相位无关，则(zb 2 (z)0ny 2兀TL = -10lgZ 2匚r nn=1 n对于硬质海底的浅海声场的传播损失：TL = -10lgsin2(k z )sin2( z)H 2匚rzn 0znn=1n注意：简正波相位无规假设下的声传播损失。假设声源远离海面和海底，sin2 (k z )和 sin2间随机取值，对深度取平均,zn 0zn有 I sin2xdx u 1/2，贝yTL = -10 lgH 2 r Cn =1 n如果波导中简正波个数较多，贝贝有n =1 nn=1,(n )2 |1 -I ( N丿b An 0 1 - x 2dx =竺卜 2 dO=ro 0 2因此，传播损失为：TL = -10lg = 10lg r + 10lg Hr冗讨论:1)声波掠射角的变化H
