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1、-一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不管采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.二、求函数值域最值的常用方法1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y=的值域解： 显然函数的值域是： 例2、求函数y=2的值域。 解：0 0 22故函数的值域是：-，2 2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最
2、根本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=-2*+5，*-1，2的值域。解：将函数配方得：y=*-1+4，*-1，2，由二次函数的性质可知： 当*=1时，y =4 当*=-1，时=8 故函数的值域是：4，8 例4、求函数的值域： 解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，所以，的值域为.3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。例5、求函数的值域解：恒成立，函数的定义域为R. 由 得。 当即时，； 当即时，时，方程恒有实根. 且.原函数的值域为.例6、求函数y=*+的值域。 解：两边平方
3、整理得：2-2y+1*+y=01*R，=4y+1-8y0解得：1-y1+但此时的函数的定义域由*2-*0，得：0*2。由0，仅保证关于*的方程：2-2y+1*+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程1有实根，由0求出的围可能比y的实际围大，故不能确定此函数的值域为，。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0*2，y=*+0，=0，y=1+代入方程1，解得：=0，2，即当=时，原函数的值域为：0，1+。注：由判别式法来判断函数的值域时，假设原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的局部剔除。4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理
4、分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数的值域。分析与解：由于此题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出*,从而便于求出反函数。反解得 即知识回忆：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。例8、求函数y=的值域。解：由原函数式可得：=0，0 解得：-1y1。故所求函数的值域为(-1,1).例9、求函数y=的值域。 解：由原函数式可得：ysin*-cos*=3y 可化为：sin*+=3y 即 sin*+= *R，sin*+-
5、1，1。即-11解得：-y 故函数的值域为-，6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。原理：同增异减例10、求函数的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数层函数复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性同增异减知：。例11、 求函数y= 2*10的值域解：令y=，=，则 y ，在2，10上都是增函数。所以y= y +在2，10上是增函数。当*=2时，y =+=，当*=10时，= +=33。故所求函数的值域为：，33。例12、求函数y=-的值域。解：原函数可化为： y=令y =，= ，显然y，在1，+上为无上界的增函数，所以y= y+在1，+上也为无
6、上界的增函数。 所以当*=1时，y=y +有最小值，原函数有最大值=。显然y0，故原函数的值域为(0,。7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等。例13、求函数y=*+的值域。解：令*-1=t，t0则*=+1y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可知当t=0时，y=1，当t0时，y+。 故函数的值域为1，+。例14、求函数y=*+2+的值域 解：因1-0，即1 故可令*+1=cos，0，。y=cos+1+=sin+cos+1
7、 =sin+/4+10，0+/45/4 -sin+/41 0sin+/4+11+。 故所求函数的值域为0，1+。例15、求函数 y=的值域解：原函数可变形为：y=-可令*=tg，则有=sin2，=cos2y=-sin2 cos2=-sin4 当=k/2-/8时，=。当=k/2+/8时，y=-而此时tg有意义。 故所求函数的值域为-，。例16、求函数y=sin*+1cos*+1，*-/12/2的值域。解：y=sin*+1cos*+1=sin*cos*+sin*+cos*+1令sin*+cos*=t，则sin*cos*=-1 y=-1+t+1=由t=sin*+cos*=sin*+/4且*-/12，
8、/2可得：t当t=时，=+，当t=时，y=+故所求函数的值域为+，+。例17、求函数y=*+4+的值域 解：由5-*0，可得*故可令*=cos，0，y=cos+4+sin=sin+/4+40， /4+/45/4当=/4时，=4+，当=时，y=4-。故所求函数的值域为：4-，4+。8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的*种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=+的值域。解：原函数可化简得：y=*-2+*+8 上式可以看成数轴上点P*到定点A2，B-8间的距离
9、之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=*-2+*+8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=*-2+*+8AB=10 故所求函数的值域为：10，+例19、求函数y=+ 的值域解：原函数可变形为：y=+上式可看成*轴上的点P*，0到两定点A3，2，B-2，-1的距离之和，由图可知当点P为线段与*轴的交点时， y=AB=， 故所求函数的值域为，+。例20、求函数y=-的值域 解：将函数变形为：y=-上式可看成定点A3，2到点P*，0的距离与定点B-2，1到点P*，0的距离之差。即：y=AP-BP由图可知：1当点P在*轴上且不是直线AB与*轴的交点时，如点P，则构成ABP，根
10、据三角形两边之差小于第三边，有 AP-BPAB= 即：-y2当点P恰好为直线AB与*轴的交点时，有 AP-BP=AB= 。 综上所述，可知函数的值域为：-，-。 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在*轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在*轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：3，2，-2，-1，在*轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为：3，2，2，-1，在*轴的同侧。例21、求函数的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求
11、点2，3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线B*和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: 9 、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。如：其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例22、求函y=sin*+1/sin*+cos*+1/cos*的值域解：原函数变形为： y=+1/+1/=1+ +=3+3+2 =5当且仅当tg*=ctg*，即当*=k/4时kz，等号成立。故原函数的值域为：5，+。例23、求函数y=2sin*sin2*的值域解：y=2sin*sin*cos*=4cos*=16=82-
12、28+2- =8+2- /3=当且当=2-2，即当=时，等号成立。由，可得：-y故原函数的值域为：-，。例24、当时，求函数的最值，并指出取最值时的值。分析与解：因为可利用不等式即：所以当且仅当即时取=当时取得最小值12。例25、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是 。A B 4 C 2 D 分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：，我们知道所以当且仅当时取“=而故当且仅当时取“=。10、导数法 设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在的各极值与，中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。例26、求函数,的最大值和最小值。解: ,令,方程无解.函数在上是增函数.故当时, ，当时, 例27、求函数的最值.解析: 函数是
