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1、李胜 自动化3班 20095109Course Project_02Finding the Dynamic Model of a Two-Link Planar Robot ArmGiven a two-link planar robot arm as follow:图11. Find its Dynamics2. Construct the model using Lagrange Method3. Establish the Equations of Motion4. MATLAB Simulation and your discussion1. 求解动态模型方程：平面坐标系对应的X和Y的
2、标量方程如下：X=C+C,Y=S+S,那么对上式求一阶导数得速度表达式：，+将其转换为雅可比矩阵的形式来表示；，其中雅可比矩阵J=，这就是利用雅可比矩阵来表示的动态模型方程。2.用拉格朗日方法构建其模型方程：2.1 杆1质心K1的位置坐标为，杆1质心K1速度的平方为：，杆2质心K2的位置坐标为：杆2质心K2速度的平方为： ，2.2 系统动能： i=1,22.3 系统势能：;2.3 拉格朗日函数：2.4 系统动力学方程：根据拉格朗日方程式计算各关节上的力矩，得到系统动力学方程：计算关节1上的力矩上式可简写为： （2.4.1）式中：（2.4.2）计算关节2上的力矩：上式可简写为： （2.4.3）式
3、中：（2.4.4）式（2.4.1），（2.4.2），（2.4.3），（2.4.4）分别表示了关节驱动力矩与关节位移，速度，加速度，之间的关系，即力和运动之间的关系称如图所示二自由度平面机器手的动力学方程。对这些公式分析可知：（1） 含有的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中： 含有和的项分别表示由于关节1加速度和关节2加速度引起的惯性力矩。 含有的项表示关节2加速度和关节1的耦合惯性力矩。 含有的项表示关节1加速度和关节2的耦合惯性力矩。（2） 含有和的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中： 含有的项表示关节2速度引起的向心力对关节1的耦合力矩项。 含有的项表示关节1速度引起的向心力对关节
4、2的耦合力矩项。（3） 含有的项表示由于科氏力引起的关节力矩项，其中： 含有的项表示科氏力对关节1的耦合力矩项。 含有的项表示科氏力对关节2的耦合力矩项。（4） 只含有关节变量，的项表示重力引起的关节力矩项，其中： 含有的项表示连杆1及连杆2的质量对关节1引起的重力矩项。 含有的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。2.5 关节空间的动力学方程 将式（2.4.1），（2.4.2），（2.4.3），（2.4.4）写成矩阵形式： 其中： ；所以=；=；以上几式就是操作臂在关节空间的动力学方程，它反映了关节力矩与关节变量，速度，加速度之间的函数关系。3. 构建其姿势方程：对二自由度机械手：（1）
5、建立连杆坐标系，并用连杆长度和关节变量，求相邻坐标系的位姿关系；（2）求相邻坐标系的齐次变换矩阵；（3）利用下式求总变换 上式就是二连杆二自由度平面机械手的位姿方程。4. MATLAB仿真以及一些讨论D-H法是进行机器人动态仿真分析的普遍方法。使用MATLAB/Simulink建立基于D-H法的机器人运动学方程，并对其进行仿真。基于D-H法的Simulink运动学仿真：4.1 DH法原理 一个物体在空间的表示可以通过在它上面固连一个坐标系，再将该固连的坐标系在空间表示出。先从操作臂的固定基座开始为连杆进行编号，可以称固定基座为连杆0，第一个可动连杆为连杆1，以此类推，操作臂最末端的连杆为连杆n
6、。 描述一个连杆和下一个连杆之间关系的齐次变换矩阵）的为T矩阵，可以描述连杆构件坐标系之间的相对平移和旋转的齐次变换。描述连杆1相对基座（连杆0）位姿，每次变换后该坐标系中的点相对于参考坐标系的坐标都是通过用每个变换矩阵左乘该点的坐标得到的，由此类推，把连杆变换矩阵连乘就能得到机器人末端在总体笛卡尔坐标系中的位置和姿态。对于二自由度串联机器人，有 。在图1中，角表示绕Z轴的旋转角，d表示在Z轴上两条相邻的公垂线之间的距离，a表示每一条公垂线的长度（也叫关节偏移量），角表示两个相邻的Z轴之间的角度 （也叫关节扭转）。对于旋转关节，绕z轴的旋转（角）是关节变量。对于滑动关节，沿z轴的连杆长度d是关
7、节变量。 下一步将一个参考坐标系变换到下一个参考坐标系.假设现在位于本地坐标系，那么通过以下四步标准运动即可到达下一个本地坐标系。4.2 二自由度串联机器人的DH模型为计算矩阵T，可以制作一张关节和连杆参数的表，其中每个连杆和关节的参数值可从机器人的原理示意图上确定，并且可将这些参数代入T矩阵。关节i为转动关节时，关节角是一个变量，其他二个连杆参数是固定不变的。通常在运动方程中不包含末端执行器。图2 二自由度串联机器人坐标系示意图表1 D-H参数表#关节角连杆偏距d连杆长度a连杆转角1L1020L20将各参数代入变换矩阵T中：于是，末端执行器到参考坐标系的变换矩阵为： T= 空间坐标系可以用矩
8、阵表示，其中坐标原点以及相对于参考坐标系的表示该坐标系姿态的三个向量也可以由该矩阵表示出来，矩阵前三列为姿态，第四列为位置。 于是机械手末端执行器在参考坐标系中的XY坐标为：4.3 基于D-H法的Simulink模型仿真图3 Simulink模型Clock产生时间信号，theta1,theta2,这二个模块产生随时间变化的信号，用来模拟机械手关节的角位移。根据px和py的表达式，确定好机械手初始状态后经M文件计算得出末端执行器在XY平面上的坐标，并由XY Graph模块显示机械臂末端在OXY平面上的运动轨迹。其中theta1theta2这两个关节角位移信号具有分段函数的性质，可以使用Simul
9、ink中的Lookup Table模块来产生近似ADAMS旋转驱动中的STEP函数。而Lookup Table的每一段为线性关M文件：function y = pxyz(u)l1=0.16; %杆长l1l2=0.25; u(1)=u(1); %关节theta1角位移信号及初始角度设定u(2)=u(2)-0.7505; y=cos(u(1)*(l2*cos(u(2);l2*cos(u(2)图4 Lookup Table模块产生的角位移信号图5末端执行器在OXY面上运动范围总结与感想： 平面机器人主要是机械手，机械手是机器人系统的机械运动部分，它的执行机构是用来保证复杂空间运动的综合刚体，而且它自
10、身也往往需要在机械加工或装配等过程中作为统一体进行运动。因此，我们需要一种用以描述单一刚体位移、速度和加速度以及动力学问题的有效而又方便的数学方法。我们将采用矩阵法来描述机器人机械手的运动学和动力学问题。研究操作机器人的运动，不仅涉及机械手本身，而且涉及各物体间以及物体与机械手的关系。我们将要讨论的齐次坐标及其变换，就是用来表达这些关系的。齐次坐标变换不仅能够表示动力学问题，而且能够表达机器人控制算法、计算机视觉和计算机图形学等问题。因此，我们对这种数学表示方法特别感兴趣。Denavit-Hartenberg(DH)模型表示了对机器人连杆和关节进行建模的一种非常简单的方法，可用于任何机器人构型，而不管机器人的结构顺序和复杂程度如何。它也可用于表示已经讨论过的在任何坐标中的变换，例如直角坐标、圆柱坐标、球坐标、欧拉角坐标及RPY坐标等。尽管采用某些方法对机器人建模会更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好处，例如，雅克比矩阵的计算和力分析等。 由于水平和经验有限仿真结果误差比较大，也没能计算出运动学的比较详细解析表达式。不过随着学习的深入相信会对串联平面机器人的运动和控制有更深刻的认识。 / 文档可自由编辑打印
