《常用的巧算和速算方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常用的巧算和速算方法（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、常用的巧算和速算措施【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个持续数的和。例如出名的大数学家高斯(德国)小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为1+2+9+10因此，23+910=101002=550。 “+57+97+99=? 579+9(+）492 99。这种算法的思路，见于书籍中最早的是国内古代的张丘建算经。张丘建运用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：“今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺,今三十日织讫。问织几何?”题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少某些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5 尺布，最后一天织了1 尺,一共织了0 天。问她
2、一共织了多少布？张丘建在算经上给出的解法是:“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数,即得。”“答曰：二匹一丈”。这一解法,用现代的算式体现，就是1匹= 丈，1 丈 尺,90尺=9 丈 匹1 丈。(答略)张丘建这一解法的思路，据推测为：如果把这妇女从第一天直到第30 天所织的布都加起来，算式就是5+1在这一算式中，每一种往后加的加数，都会比它前一种紧挨着它的加数,要递减一种相似的数,而这一递减的数不会是个整数。若把这个式子反过来，则算式便是+5此时,每一种往后的加数，就都会比它前一种紧挨着它的加数,要递增一种相似的数。同样，这一递增的相似的数，也不是一种整数。假若把上面这两个式子相加，并在相加时
3、，运用“相应的数相加和会相等”这一特点，那么，就会浮现下面的式子:因此，加得的成果是630=180（尺)但这妇女用30天织的布没有10 尺,而只有 尺布的一半。因此，这妇女30 天织的布是182=90(尺)可见，这种解法的确是简朴、巧妙和饶有趣味的。【分组计算】某些看似很难计算的题目,采用“分组计算”的措施，往往可以使它不久地解答出来。例如：求1 到10 亿这0 亿个自然数的数字之和。这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”，而不是“0 亿个自然数之和”。什么是“数字之和”?例如,求1 到1 这12 个自然数的数字之和,算式是12+345+78+10+1+1+125。显然,10 亿个自然数的数
4、字之和,如果一种一种地相加,那是极麻烦，也极费时间(很近年都难于算出成果）的。怎么办呢？我们不妨在这0 亿个自然数的前面添上一种“0”，变化数字的个数,但不会变化计算的成果。然后,将它们分组：0和999，999，9；和99，99,998； 和99，99，997;3 和999,9，6；4 和999,99，5； 和999,99， 94； 依次类推,可知除最后一种数,，00，000,00 以外，其她的自然数与添上的0 共10亿个数，共可以分为5 亿组,各组数字之和都是81,如09+9+9+9+99+9=811+9+9999+99+=8最后的一种数1,000，00,00 不成对，它的数字之和是1。因此
5、,此题的计算成果是(500,000，000)+=40,0，000，01=40，00，00,001【由小推大】“由小推大”是一种数学思维措施，也是一种速算、巧算技巧。遇到有些题数目多，关系复杂时,我们可以从数目较小的特殊状况入手，研究题目特点，找出一般规律,再推出题目的成果。例如：（1）计算下面方阵中所有的数的和。这是个“1000”的大方阵,数目诸多,关系较为复杂。不妨先化大为小,再由小推大。先观测“5”的方阵，如下图（图4.）所示。容易看到，对角线上五个“5”之和为2。这时，如果将对角线下面的部分（右下部分)用剪刀剪开,如图4.2 那样拼接，那么将会发现，这五个斜行,每行数之和都是25。因此，
6、“55”方阵的所有数之和为25=125,即3=25。于是,很容易推出大的数阵“1100”的方阵所有数之和为10=，00,00。(2)把自然数中的偶数,像图4.3 那样排成五列。最左边的叫第一列,按从左到右的顺序,其她叫第二、第三第五列。那么 出目前哪一列：由于从2 到,共有偶数=00(个）。从前到后，是每8个偶数为一组,每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列,后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序)。因此，由001=125,可知这1001 个偶数可以分为125 组,还余1 个。故 应排在第二列。【凑整巧算】用“凑整措施”巧算,常常能使计算变得比较简便、迅速。例如（1）
7、99+1.1（9+1）(+)(090.1)=111(2）99+8=（91)（9+3）+（98+2)=10+0+10=1110（)125+125+12+125120+125+125+1251512+125125(1205)125+25+25-=28-50-5=9 【恒等变形】恒等变形是一种重要的思想和措施，也是一种重要的解题技巧。它运用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目不久地获得解答。例如（1)183+68=(182-32)+(83）1800+1=1900（2)39.7-.9=（3591）-（9.9+O)=359.8-10=49.8【拆数加减】在分数加减法运算中,把一种分数拆成
8、两个分数相减或相加,使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的某些分数，往往可大大地简化运算。（1） 拆成两个分数相减。例如又如【同分子分数加减】同分子分数的加减法,有如下的计算规律：分子相似,分母互质的两个分数相加（减)时，它们的成果是用原分母的积作分母,用原分母的和（或差）乘以这相似的分子所得的积作分子。分子相似,分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。由上面的规律还可以推出，当分子都是1,分母是持续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积,根据这一关系，我们也可以简化运算过程。例如【先借后还】“先借后还”是一条重要的数学解题思想
9、和解题技巧。例如做这道题，按先通分后相加的一般措施,势必影响解题速度。目前从“凑整”着眼，采用“先借后还”的措施,不久就将题目解答出来了。【两分数相除】有些分数相除，可以采用如下的巧算措施:(1）分子、分母分别相除。在个别状况下，分数除法可沿用整数除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。但是,这只有在被除数的分子、分母,分别是除数的分子、分母的整数倍数的状况下，计算才比较简便。例如小数的速算与巧算凑整【知识精要】凑整法是小数加减法速算与巧算运用的重要措施。用的时候重要看末位。但是小数计算中“小数点”一定要对齐。【例题精讲】凑整法例1、计算6+2.8+4.4+.62。【分析】.6
10、 与4.4 刚好凑成10，2.38与062 刚好凑成,这样先凑整运算起来会更加简便。【解答】原式=(5.6+.4）+(2.30.62）10+=13【评注】凑整,特别是“凑十”、“凑百”等,是加减法速算的重要措施。例、计算：199919.9+199.9+199。【分析】由于小数计算起来容易出错。刚好199 接近整千数,其他各加数看做与它接近的容易计算的整数。再把多加的那部分减去。【解答】1.9999.9+19.9+999=2+20+20+-0.001-0.010.1=221.11=2220.88【评注】所谓的凑整,就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百,我们也可以引申为读整法,譬如此题。“1.9”刚好与“2”相差0.001，因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。但是，一定要记住刚刚“多加的”要“减掉”。“多减的”要“加上”！
