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1、分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常用的两个概念,同窗们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，觉得分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此.分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一种也许使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范畴而产生的未知数的值;而分式方程无解则是指不管未知数取何值,都不能使方程两边的值相等它涉及两种情形:（一)原方程化去分母后的整式方程无解;（二）原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根,从而原方程无解.现举例阐明如下：例1 解方程. 解：方
2、程两边都乘以（x+）（x-2)，得2（+2)-4x=3(x-2)解这个方程，得x=2经检查：当x=2时,原方程无意义,因此x=2是原方程的增根因此原方程无解【阐明】显然,方程中未知数x的取值范畴是x2且x-.而在去分母化为方程后,此时未知数x的取值范畴扩大为全体实数因此当求得的x值正好使最简公分母为零时,x的值就是增根本题中方程的解是x=2,正好使公分母为零,因此x2是原方程的增根，原方程无解例2解方程.解:去分母后化为x3x（+x).整顿得0x8由于此方程无解,因此原分式方程无解.【阐明】此方程化为整式方程后,自身就无解,固然原分式方程肯定就无解了.由此可见,分式方程无解不一定就是产生增根例
3、3(湖北荆门）若方程=无解,则m=.解：原方程可化为=方程两边都乘以x-，得3=-m.解这个方程,得=3-m.由于原方程无解,因此这个解应是原方程的增根.即=2，因此2=3,解得m1故当m=1时,原方程无解.【阐明】由于同窗们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一种根,因此如果这个根是原方程的增根,那么原方程无解但是同窗们并不能因此觉得有增根的分式方程一定无解，随着后来所学知识的加深，同窗们便会明白其中的道理，此处不再举例例4当a为什么值时，有关x的方程会产生增根？解:方程两边都乘以(x+2）（x）,得2（x2）ax=3（x-）整顿得(-1)x=10 若原分式方程有增根
4、,则x=2或-2是方程的根.把x或2代入方程中，解得,a=或【阐明】做此类题一方面将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.若将此题“会产生增根”改为“无解”,即：当为什么值时，有关x的方程无解？此时还要考虑转化后的整式方程（a1）x-1自身无解的状况，解法如下:解：方程两边都乘以（x+)（-2）,得2(x+2）ax=3（x2)整顿得(a1）x-1 若原方程无解,则有两种情形:（1)当a10(即1）时,方程为0x=10,此方程无解,因此原方程无解。（2）如果方程的解正好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解
5、原方程若有增根，增根为x或2，把2或-2代入方程中，求出a=-4或6.综上所述,a=1或a一4或时,原分式方程无解.结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能协助我们提高解分式方程的对的性,对判断方程解的状况有一定的指引意义.与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题,在近年的中考试题中时有浮现,现结合近年的中考题分类举例，简介给读者,供学习、复习有关内容时参照。1. 已知分式方程有增根,求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义:(1)增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。（2)增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。运用（1)可以拟定出分式方程的增根，运用()可
6、以求出分式方程有增根时的字母系数的值。例1. (潜江市）使有关的方程产生增根的a的值是（ ）.B 2C.D. 与a无关解：去分母并整顿,得：由于原方程的增根为x=2,把x=2代入1,得2=4因此故应选C。例2.（17年山东省)若解分式方程产生增根，则m的值是( )A.-或2 -1或2C. 1或 .1或-解：去分母并整顿,得:又原方程的增根是x0或,把x0或x=1分别代入式,得：m=2或m=1故应选C。例3 (重庆市）若有关x的方程有增根,则a的值为_。解：原方程可化为:又原方程的增根是，把代入,得：故应填“”。例4 （鄂州市)有关x的方程会产生增根,求k的值。解：原方程可化为：又原方程的增根为
7、x,把x=3代入，得：k=3例5 当k为什么值时,解有关的方程:只有增根x=1。解：原方程可化为：把x=1代入,得k=3因此当k=3时,解已知方程只有增根x=。评注:由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：(1)将所给方程化为整式方程;（2）由所给方程拟定增根(使分母为零的未知数的值或题目给出）；(）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。2. 已知分式方程根的状况,求字母系数的值或取值范畴例6.（荆门市）当k的值为_(填出一种值即可)时，方程只有一种实数根。解：原方程可化为:要原方程只有一种实数根,有下面两种状况：(）当方程有两个相等的实数根，且不为原方程的增根,因此由得k1。当k=
8、-1时，方程的根为，符合题意。(）方程有两个不相等的实数根且其中有一种是原方程的增根，因此由，得k1。又原方程的增根为x=0或x，把=0或x1分别代入得,或=3，均符合题意。综上所述:可填“1、3”中的任何一种即可。例. （孝感市）当m为什么值时，有关的方程无实根？解:原方程可化为:要原方程无实根，有下面两种状况:（1)方程无实数根，由，得；()方程得=2。综上所述：当或当=2时，所给方程无实数解。例8.(南昌市）已知有关的方程有实数根，求m的取值范畴。解:原方程化为：要原方程有实数根,只要方程不成立;当。综上所述:当且时,所给方程有实数根。评注:由以上三例可知，由分式方程根的状况，求字母系数
9、的值或取值范畴的基本思路是：（)将所给方程化为整式方程;()根据根的状况，由整式方程运用根的鉴别式求出字母系数的值或取值范畴,注意排除使原方程有增根的字母系数的值。3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范畴例9 当取何值时,解有关x的方程:无增根?解:原方程可化为:又原方程的增根为x=2或，把x=2或分别代入得:或又由知，a可以取任何实数。因此，当且时,解所给方程无增根。评注:解答此类问题的基本思路是:（1)将已知方程化为整式方程;(2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范畴;(3）从有实数根的范畴里排除有增根的值，即得无增根的取值范畴。4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范畴例9. 已知有关x的方程的根不小于，求a的取值范畴。解：原方程可化为:因此由题意,得：且因此且例.已知有关的方程的根不不小于0,求k的取值范畴。解:原方程可化为：因此由题意,得:因此评注：解答此类题的基本思路是：(1）求出已知方程的根;(2)由已知建立有关字母系数的不等式,求出字母系数的取值范畴，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。阐明:注意例9与例10的区别，例9有,而例0无这一不等式？请读者思考。
