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1、+2019年数学高考教学资料+课时作业(四十九)一、选择题1抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1 B2 C4 D8解析：y28x的焦点到准线的距离为p4，选C.答案：C2设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8 C8 D16解析：如图，由直线AF的斜率为，得AFH60，FAH30，PAF60.又由抛物线的定义知|PA|PF|，PAF为等边三角形，由|HF|4得|AF|8，|PF|8.答案：B3过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条解析：满足题意
2、的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)，选C.答案：C4(2012年洛阳二模)已知抛物线y24x的焦点为F，过F的直线与该抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则yy的最小值是()A4 B8 C12 D16解析：抛物线的准线方程为x1，|AF|x11，|BF|x21，yy4x14x24(|AF|BF|)84|AB|8.|AB|的最小值为4(当ABx轴时取得)，yy的最小值为8.答案：B5设抛物线y2x的焦点为F，点M在抛物线上，延长线段MF与直线x交于点N(F在线段MN上)，则的值为()A. B. C2 D4
3、解析：易见直线x是抛物线的准线，抛物线的焦点为F.据题意，不妨设点M的坐标为(m，)，其中m，如图则据抛物线的定义有：|MF|m.直线MF的方程为y，把x代入得点N的坐标为，|NF|.2.答案：C6已知ABC的三个顶点都在抛物线y22x上，抛物线的焦点为F，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，且点B的横坐标为，则边AC的垂直平分线必过点()A(1,0) B. C. D(2,0)解析：设A(x1，y1)，C(x2，y2)，而F，由题意得2|BF|AF|CF|.根据抛物线的定义得：2，即x1x2，易知x1x2，否则x1x2，此时点B与点A或点C重合，与A、B、C构成三角形相矛盾线段AC的斜率
4、为，则AC的垂直平分线的方程为y，即y，令y0，解得x，即线段AC的垂直平分线过定点，故选C.答案：C二、填空题7已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|x112，x11，直线AF的方程是x1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|AB|2.答案：28(2012年太原二模)已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_解析：设抛物线的焦点为F，A、B的横坐标分别为x1、x2，则x1x24.抛物线的准线方程为x1，|AF|x11，|BF|x21，|AF|B
5、F|x1x226.|AF|BF|AB|(当且仅当A、B、F共线时取“”)，如图所示|AB|6，|AB|的最大值为6.答案：69(2012年北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1.设|AF|2m，如图，l的倾斜角为60，点A的横坐标为xA12mcos601m，点A的纵坐标为yA2msin60m.把A的坐标代入抛物线的方程得：3m24(1m)，即3m24m40，m2(舍去m)SAOF|OF|yA12.答案：三、解答题10已知抛物线y22p
6、x(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2，一直角边的方程是y2x，求抛物线的方程解：因为一直角边的方程是y2x，所以另一直角边的方程是yx.由解得或(舍去)；由解得或(舍去)，三角形的另两个顶点为(，p)和(8p，4p) 2.解得p，故所求抛物线的方程为y2x.11已知抛物线方程x24y，过点P(t，4)作抛物线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B.(1)求证：直线AB过定点(0,4)；(2)求OAB(O为坐标原点)面积的最小值解：(1)证明：设切点为A(x1，y1)、B(x2，y2)又yx，则切线PA的方程为yy1x1(xx1)，即yx1xy1，切线PB的方程为yy2x2
7、(xx2)，即yx2xy2，由点P(t，4)是切线PA，PB的交点可知：4x1ty1，4x2ty2，过A、B两点的直线方程为4txy，即txy40.直线AB：txy40过定点(0,4)(2)由得x22tx160.则x1x22t，x1x216.SOAB4|x1x2|2216.当且仅当t0时，OAB的面积取得最小值16.12(2012年山东)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点
8、M的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M的横坐标为，直线l：ykx与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当k2时，|AB|2|DE|2的最小值解：(1)依题意知F，圆心Q在线段OF的垂直平分线y上，因为抛物线C的准线方程为y，所以，即p1，因此抛物线C的方程为x22y.(2)假设存在点M(x00)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y|xx0|xx0x0.所以直线MQ的方程为yx0(xx0)，令y得xQ，所以Q.又|QM|OQ|，故222，因此2，又x00，所以x0，此时M(，1)故存在点M(，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M.(3)当x0时，由(2)得
9、Q.Q的半径为r，所以Q的方程为22.由整理得2x24kx10.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由于116k280，x1x22k，x1x2，所以|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x2(1k2)(4k22)由整理得(1k2)x2x0.设D，E两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)由于20，x3x4，x3x4，所以|DE|2(1k2)(x3x4)24x3x4.因此|AB|2|DE|2(1k2)(4k22).令1k2t，由于k2，则t5.所以|AB|2|DE|2t(4t2)4t22t，设g(t)4t22t，t，因为g(t)8t2，所以当t，g(t)g6，即函数g
10、(t)在t是增函数，所以当t时g(t)取到最小值，因此当k时，|AB|2|DE|2取到最小值.热点预测13已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：由题意可得，抛物线的焦点坐标为(4,0)，即c4.又e2，得a2.b2.，则双曲线渐近线方程为yxx.答案：D14如图，设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为_解析：易见抛物线的焦点坐标为F，l的方程为y2，令x0，得点A的纵坐标为y.据题意：4SOAF|OF|yA|，a2
11、64，a8，抛物线的方程为y28x.答案：y28x15设动点P(x，y)(y0)到定点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设圆M过A(0,2)，且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦试探究当M运动时，|EG|是否为定值？为什么？解：(1)依题意知，动点P到定点F(0,1)的距离等于P到直线y1的距离，曲线C是以原点为顶点、F(0,1)为焦点的抛物线，曲线C方程是x24y.(2)设圆的圆心为M(a，b)圆M过A(0,2)，圆的方程为(xa)2(yb)2a2(b2)2.令y0，得x22ax4b40.如图，设圆与x轴的两交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，则x1、x2是方程的两根不妨设x1x2，由求根公式得x1，x2.x1x2.点M(a，b)在抛物线x24y上，a24b，x1x24，即|EG|4，当M运动时，弦长|EG|为定值4.高考数学复习精品高考数学复习精品
