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1、等角存在性问题除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不 同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角等腰三角形：Z1=Z2全等三角形：Z1=Z
2、2三角函数：若tanZl=tanZ2,则Z1=Z2圆周角定理：Z1=Z2想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上 6 种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角如图，已知抛物线过点 A（4，0），B（-2，0），C（0，-4） （1）求抛物线的解析式；（2） 点 C和点C关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且ZPAB = ZCAC，求点P的横坐标.11分析】（1）抛物线：y = X2 X 4 ；22）由题意得： C 坐标为（2，-4），1考虑到A、C、C三点坐标均已知，故可求ZCAC的三角函数值.11思路1：构造直角三角
3、形过点C作CH丄AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1, 3）,11故HC *2 , HA = 3、込,tan ZCAC1=1，则tan zpAB = 31为 “k | = 1 ”，PA 3当k =1时，设PA解析式为y = 1X PA 334X 3，转化“tan ZPAB = 3将A（4,0）代入得：y=3联立方程：2x2 .4=3x - ?故P坐标为1 1 3 9丿PA= 3 -解得： x = 4 ，1当k=-时，设PA解析式为y = -x + b ,pa 33将 A （ 4 ， 0 ）代入，得：-4x + 33联立方程：丄x2 -x-4 = x + ，解得：x = 42 331故P坐标
4、为2综上所述，p点坐标为-4或-8.3 3思路 2：发现特殊角如图构造等腰直角三角形AMC,易解M点坐标为（4,-4）, 故AAMC是等腰直角三角形./MAC=45,考虑 tan ZMAC =，可知 tan ZCAC = 1 ,-23下同思路 - 求解 P 点坐标.1.如图，已知二次函数y = -x2 + bx + c的图象经过点A（-1,0） , B （3,0），与y轴交于点C .-）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使ZPAB = ZABC，若存在请直接写出点P的坐标若不存在，请说明理由.分析】（1）运用待定系数法即可求解；(2)先求出点C的坐标，根据抛物线与x轴的两个交点，可
5、求对称轴，找到点C关于对称轴的对应点；先 运用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与BC平行的直线AP的解析 式，联立抛物线解析式即可求解【解答】解：(1)根据题意得 b + C = 0-9 + 3b + c = 0解得$ = 2c = 3故抛物线的解析式为 y = - x 2 + 2 x + 3(2)二次函数y = -x2 + 2x + 3 的对称轴是x = (-1 + 3) 一 2 = 1当 x = 0 时，y = 3则 C(0,3) ，点C关于对称轴的对应点邙2,3)设直线 BC 的解析式为 y=kx+3，则 3k + 3 = 0解得k = -1则直线BC的解
6、析式为y = -x + 3设与BC平行的直线AP的解析式为y = -x + m则 1 + m = 0解得 m = -1则与BC平行的直线AP的解析式为y = -x-1联立抛物线解析式得j y = - x -1 y = -x2 + 2x + 3解得 j x1 = 4，丁-1 (舍去). y = -5 y = 012P (4,-5) 2综上所述 P (2,3)P (4, -5) 12点评】此题考查了二次函数综合题，综合运用待定系数法求二次函数解析式的方法和对称轴，以及互相平行的两直线的关系2.如图1，抛物线C: y = ax2 + bx经过点A(-4,0)、B(-1,3)两点，G是其顶点，将抛物线
7、C绕点O旋转180。，得到新的抛物线C.(1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标;12(2)如图2,直线l: y = kx-亍经过点A , D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m(m-2),连接DO并延长，交抛物线C于点E，交直线l于点M，若DE = 2EM，求m的值；(3)如图3，在(2)的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得析式，再利用配方法将抛物线C解析式化为顶点式即可求得顶点G的坐标;(2)根据抛物线C绕点O旋转180。，可求得新抛物线C的解析式，再将A(-4,0)代入y = kx -号中，即可求得直线l解析式，根据对称性可得点E坐标，过点D作DH/
8、y轴交直线l于H ,过E作EK /y轴交直线l于K，由DE = 2EM，即可得ME =1，再证明AMEKAMDH，即可得DH = 3EK，建立方程求解即可;MD 3(3)连接BG，易证 AABG 是Rt , ZABG = 90。，可得tanZDEP = tanZGAB = 1，在x 轴下方过点O作 OH丄OE，在OH上截取OH = 1OE 込，过点E作ET丄y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即 为所求的点;通过建立方程组求解即可【解答】解：将A(-4,0)B(-l,3)代入y = ax2 + bx 中,16a 一 4b =a b = 3解得|b=4抛物线C解析式为：y = x2 4x配方
9、，得：y = x2 4x = (x + 2)2 + 4，.顶点为：G(2,4);(2)抛物线C绕点O旋转180。，得到新的抛物线C.新抛物线C的顶点为：G(2,-4)，二次项系数为：a = 1新抛物线C的解析式为：y = (x - 2)2 4 = x2 4x将 A(4,0)代入y = kx 12 中，得0 = 4k 12，解得k = 12直线l解析式为y = x -设D(m, m2 4m)，D、E关于原点O对称，.OD = OEDE= 2EM.OM = 2OD ，过点D作DF丄x轴于F，过M作MR丄x轴于R.Z OFD = ZORMZDOF = ZMORODFAOMR OR RM OM 小 O
10、F DF OD.OR = 2OF ，RM = 2DFM (2m,2 m 2 + 8m)5 5 5312 2m2 + 8m = - (-2m)-解得： m1= -3 ，55m=225m -2.m 的值为：33）由（2）知：m = -3 D(-3,3)E(3,-3), OE = 32如图 3,连接BG，在 AABG 中， AB2 = (-1 + 4)2 + (3 0)2 = 18，BG2 = 2，AG220AB2 + BG2 = AG2 AABG是直角三角形，ZABG = 90。 tan ZGAB = B込 1ZDEP = ZGABtan PEP =tan AB = p在x轴下方过点O作OH丄OE
11、，在OH上截取OH =10E =3过点E作ET丄y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点;E(3,-3) Z EOT = 45。ZEOH = 90。Z HOT = 45。 H（-1,-1），设直线EH解析式为y = px + q则严+ q = -3,解得I- p + q = -11p = -2=-3_一213直线EH解析式为y = -一x- 32213y = 一x- 22y = -x2-4x7 + 丘 + V73 - 7 x = 或:解方程组点P的横坐标为:GS3点评】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角
12、形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大3.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax 2 + bx + c（a丰0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x二工-,B、C两点的坐标分别为B(2*3 , 0) , C (0, -3) 点P 为直线BC下方的抛物线上的一个动点(不与B、C两点重合).團11)求此抛物线的解析式；(2)如图1,连接PB、PC得到APBC，问是否存在着这样的点P，使得APBC的面积最大？如果存在,求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由.(3)如图2,连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点
13、D作DM丄AB于点M , DN丄AC 于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，上MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值； 如果不是，请说明理由.【分析】 将点B(2j3 , 0) , C(0,-3)代入抛物线解析式，再结合-2二乞3，联立即可求a、b、c的2a 2值；(2) 设P(m,i m2 - 3 m - 3),由S = S- S ,分别求出S和S 的面积得到22APBC四边形 OCPBABOC四边形 OCPBABOCS二-上3(m-.3)2 +主3，即可求APBC面积的最大值；APBC22(3) 先求出 A(：3 , 0)，在 RtAAOC 中 tanZOAC = OC 八 3 ,求出 ZMAC = 60。，由 ME = NE = AE = DEOA可得点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，由圆周角定理可得ZMEN = 2ZMAC = 120。【解答】解：(1).对称轴为直线x = 32b 旦一2B(23 , 0) , C(0,-3)在抛物线上，12a + 2*3b + c = 0解得b =c = 一3 y
