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1、恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学 张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、“都”、“总”、“永远”、“一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。 高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】 是否存在常数a、b、c使得等式：对一切自然数n都成立？证明你的结论。(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于a的任意一个取值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等
2、。解法一：因为所以显然当时等式对一切自然数n都成立。(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求a、b、c的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立。解法二：令n=1，n=2，n=3可得，解得。以下用数学归纳法证明：等式122+232+n(n+1)=(3n2+11n+10)对一切自然数n都成立(证略)。(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。【例】若f(x)=sin(x+)+cos(x-)为
3、偶函数，求的值。分析：告诉我们偶函数这个条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。解：由题得：f(-x)=f(x)对一切xR恒成立，sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)2sinxcos=-2sinxsinsinx(sin+cos)=0对一切xR恒成立，只需也必须sin+cos=0。=k.（kZ)练习：已知曲线c的方程是(t+1)x2+y2-2(a2+2at)x+3at+b=0，对于任意实数t，曲线c恒过定点P(1,0)，求定值a、b。对策：把P(1,0)代入曲线方程，分离出参数t后，视参数的系数为零，从而
4、确定a、b。解：把P(1,0)代入曲线方程得：t+1-2(a2+2at)+3at+b=0。整理得：(1-a)t+1-2a2+b=0。，解得。二、不等式的恒成立问题(一)、一次函数型(主参换位法)给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)p+2x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x
5、-1)p+x2-2x+10,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.【例】（2007辽宁文22) 已知函数，且对任意的实数均有，（I）求函数的解析式；（II）若对任意的，恒有，求的取值范围解析()略（）由()，所以.令，则 即.由于，则有.解得.【练习】：若不等式x2+px4x+p-3对满足0p4的所有x都成立，求x的范围。解析：观察所给的字母范围，当给定的是参数范围时，我们可以用改变主元的办法，将p视为主变元，即将原不等式化为：(x-1)p+x2-4x+30，令，则当0p4时，有恒成立，所以只需即，所以x的范围是 x3。【练习】：若对于
6、任意a，函数的值恒大于0，求x的取值范围。分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。解： 设 ，把它看成关于a的直线，由题意知，直线恒在横轴上方。 所以 解得： 或或【练习】： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围。分析： 一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。解： 若设，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所以 解得： 【练习】： 若对一切，不等式恒成立，求实数x的取值范围。解： 原不等式变形
7、为，现在考虑p的一次函数： 在上恒成立 解得： 或 x的取值范围为【例】：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。(二)、二次函数型根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。【例】:若不等式的解集是R，求a的范围。解析：二次项系数为10,所以只要即可。【例】：若不等式的解集是R，求a的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数a，所以要讨论a-1是否是0。（1）
8、当a-1=0时，不等式化为20恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立【例】：若不等式x2-2mx+2m+10对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解析：设f(x)=x2-2mx+2m+1。不等式x2-2mx+2m+10对满足0x1的所有实数x都成立函数f(x)在0x1上的最小值大于0。而f(x)的对称轴为x=m,原问题又化归为二次函数的动轴定区间的分类讨论问题。(1)当m0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，解得 m1时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值 解得 m1综合(1)(2
9、)(3) 得 注：此型题目还可以用参数分离法。【例】设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=4（a-1)(a+2)0时，即-2a0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a-8.解法2（利用根与系数的分布知识）：即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）2-16=0,a=0或a=-8.4oxya=
10、0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=-20,符合题意。a=-8.20. 0,即a0时，f(0)=40,故只需对称轴，即a-4.a0在上恒成立。 或41()0解得 ： 或或 ，即 m的取值范围为：(三)、分离参数法一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 , （ ,为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为的形式；（2） 求在D时的最大（或最小）值；（3） 解不等式 得的取值范围。思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。【例】：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。解析：由，恒成立，即
11、恒成立，【练习】、设上有意义，求实数a的取值范围.答案：。【例】：求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：由于函，函数有最大值，所以。【例】： 已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意求实数m范围，使 恒成立。解： f(x)在R上为奇函数，且在上是增函数， f(x)在上为增函数 又 即 2， 2 m 令2 m4 即4m在上恒成立即求在上的最小值 2等号成立条件t=,即成立 4m4 m的取值范围为（4，）【例】： 设0a,若满足不等式的 一切实数x，亦满足不等式求正实数b的取值范围。简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A， B= 由题设知AB，则： () 于是得不等式组： 又 ，最小值为； 最小值为； , 即 ：b的取值范围是【例】：已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函数f(x)在区间(1，1)上是增函数，求t的取值范围。解析：依题意，f(x)x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t，则=-3x2+2x+tf(x)在(1，1)上是增函数，则
