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1、第八章 假设检验8.1 假设检验一、假设检验的基本原理在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质, 提出某些关于总体的假设。例如,提出总体服从泊松分布的假设；又如，对于正态总体提出数学期望等于的假设。假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断: 是接受, 还是拒绝.假设检验问题是统计推断的另一类重要问题.如何利用样本值对一个具体的假设进行检验?通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法,其基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”.下面结合实例来说明假设检验的基本思想.例1：某车间用一台包装机
2、包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析：用和分别表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差，由长期实践可知, 标准差较稳定,则,其中未知。问题: 根据样本值判断。提出两个对立假设再利用已知样本作出判断是接受假设( 拒绝假设) , 还是拒绝假设 (接受假设). 如果作出的判断是接受, 则即认为机器工作是
3、正常的, 否则, 认为是不正常的.由于要检验的假设设计总体均值, 故可借助于样本均值来判断.因为的无偏估计量所以，若为真，则不应太大，衡量的大小可归结为衡量的大小。于是可以选定一个适当的正数k,当观察值满足，拒绝假设反之，当观察值满足，接受假设。因为当为真时，由标准正态分布分位点的定义得: 假设检验过程如下: 于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.二、假设检验的相关概念1. 显著性水平当样本容量固定时，选定后，数k就可以确定，然后按照统计量Z的观察值的绝对值大于等于k还是小于k来作决定， 如果,则称与的差异是显著的，我们拒绝;反之，如果则称与的差异不是显著的，我们接受。上述关于与有无显著差
4、异的判断是在显著性水平之下作出的。2. 检验统计量3. 原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为: 4. 拒绝域与临界点当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假设, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点.如在前面实例中,5. 两类错误及记号假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类:(1)当原假设为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第一类错误的概率是显著性水平(2)当原假设不真, 而观察值却落入接受域, 而作
5、出了接受的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误, 这类错误是“以假为真”. 犯第二类错误的概率记为当样本容量n一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大. 若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.6. 显著性检验只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验.7. 双边备择假设与双边假设检验在备择假设表示可能大于，也可能小于，称为双边备择假设，形如的假设检验称为双边假设检验。8. 右边检验与左边检验右边检验与左边检验统称为单边检验.9. 单边检验的拒绝域三、假设检验的一般步骤1.由实际问题提出原假设（与备选假设）；2.选
6、取适当的统计量，并在为真的条件下确定该统计量的分布；3.根据问题的要求确定显著性水平（一般题目中会给定），从而得到拒绝域；4.由样本观测值计算统计量的观测值，看是否属于拒绝域，从而对作出判断。四、典型例题例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取n=25只，测得燃烧率的样本均值为。设在新方法下总体均方差仍为，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平解：根据题意需要检验假设这是右边检验问题, 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.五、小结假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤.假设检验的两类错误真实情况(未
7、知)所 作 决 策接受拒绝为真正确犯第I类错误不真犯第II类错误正确8.2 正态总体均值的假设检验一、单个总体均值的检验1.-检验：（在已知下，对进行检验），一个有用的结论：和有相同的拒绝域.例1：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常?解：查表得的拒绝域。根据第六章2定理三知,上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题.
8、例2：如果在例1中只假定切割的长度服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?解：查t分布表得例3：某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布,均为未知. 现测得16只元件的寿命如下:问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?解：依题意需检验假设查表得二、两个总体的情况利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设.引入t统计量作为检验统计量根据第六章2定理四知, 其拒绝域的形式为，故拒绝域为关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域见表8.1, 当两个正态总体的方差均为已知(不一定相等)时,我们可用检验法来检验两正态总体均值差的假设问题, 见表8.1 .例4：在平炉上
9、进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼10炉, 其得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体，问建议的新操作方法能否提高得率? 解：分别求出标
10、准方法和新方法下的样本均值和样本方差：查表8.1知其拒绝域为即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.三、基于成对数据的检验( t 检验 )有时为了比较两种产品, 或两种仪器, 两种方法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试验, 得到一批成对的观察值. 然后分析观察数据作出推断，这种方法常称为逐对比较法.例5：有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一试块测量一次, 得到9对观察值如下:问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异? 解：本题中的数据是成对
11、的, 即对同一试块测出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的. 这也表明不能将光谱仪Ix 对9个试块的测量结果(即表中第一行)看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样本, 因此不能用表8.1中第4栏的检验法作检验.而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样, 局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差若两台机器的性能一样,随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零.按表8.1中第二栏中关于单个正态分布均值的 t 检验, 知
12、拒绝域为认为这两台仪器的测量结果无显著的差异. 四、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有:8.3 正态总体方差的假设检验一 .单个总体的情况要求检验假设：根据第六章2：为了计算方便, 习惯上取:拒绝域为:例1:某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差 =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?（）解：拒绝域为: 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化.例2:一自动车床加工零件的长度
13、服从正态分布，原来加工精度，经过一段时间生产后，抽取这车床所加工的个零件，测得数据如下所示：长度10.110.310.611.211.511.812.0频数13710631问这一车床是否保持原来得加工精度。解：由题意要检验假设，此时我们只要考虑单侧的情形，由题中所给的数据计算得：，对于给定的，查自由度为的分布分位数表得临界值，此时，因此拒绝原假设，这说明自动车床工作一段时间后精度变差。对于单个正态总体有关方差检验的问题，我们可用检验来解决，但如果要比较两个正态总体的方差是否相等，我们就要用下面的检验。二. 两个总体的情况需要检验假设:根据第六章2定理四知:检验问题的拒绝域为上述检验法称为 F 检验法.例3:试对第八章第二节例2中的数据检验假设解：拒绝域见教材. 认为两总体方差相等.两总体方差相等也称两总体具有方差齐性. 例4:试对第七章第五节例9中的数据检验假设 解： 拒绝域见教材。 认为两总体具有方差齐性.三、小结 9
