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1、积的最大与最小基础知识篇导入：周长为20厘米的长方形与正方形（边长为整数）谁的面积大？1、提出问题后学生有两种答案（正方形或长方形），举手表决，看赞 成哪种答案的学生较多。2、教师提问：周长为20厘米的正方形面积是多少？ （5X5=25）3、教师提问：周长为20厘米的长方形面积是多少，能不能确定长方 形的面积具体是多少？（不能）X4、我们能确定周长是20的长方形的长+宽的和是多少？（长+宽=10）5、学生列举长+宽=10的情况有哪几种。长宽9X1=98X2=167X3=216X4=245X5=25得出结论：周长相等的长方形、正方形，正方形的面积大。学生自主探索当长+宽=9时的结果。长宽8X 1
2、=8X 2=145X 4=20得出结论：1、当两数的和一定时，两数的差越小，乘积就越大，当 两数相等时积最大。2、当两数的和一定时，两数的差越大，积就越小。例1和是10的两个自然数，这两个数的乘积最大是多少？和是9的 两个自然数，这两个数的乘积最大是多少，最小是多少？分析与解：要使积最大，则两个数之间的差要最小，5+5=10时，两 数相等，两数的乘积最大；5+4=9时，两数相差最小，两数的乘积最 大。要使两数的乘积最小，则两个数之间的差要最大，1+8=9时， 两数之间的差最大，两数之间的乘积最小。练习：1、用30厘米的铁丝围成一个长方形（长和宽都是整数），要 使面积最大，长和宽各是多少？面积最
3、大是多少？例2用长36米的竹篱笆围成长方形一个菜园，围成菜园的最大面积 是多少？分析与解：已知这个菜园的周长是36米，即四边之和是定数。长方 形的面积等于长乘以宽。因为长+宽=36一2=18 （米）由结论知，围 成长方形的最大的面积是9X9=81米2）练习：龙大爷想在笔直的墙下用20米的塑料网围成一个长方形鸡舍, 鸡舍的面积最大是多少？例3比较下面两个乘积的大小:3=57128463X87596512,b=57128460X 87596515。分析与解：对于a, b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两 组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘 积是很繁的。仔细观察两组对
4、应因数的大小发现，因为57128463比 57128460多3, 87596512比87596515少3,所以它们的两因数之和 相等，即 57128463+87596512=57128460+87596515。因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得abo 练习：比较下面两个乘积的大小：3=37128475X67546514,b=37128471X 67546518c能力提高篇例4三个不同质数的和是100,这三个数的乘积最大是多少？分析与解：100是个偶数，若三个质数都是奇数，则三个奇数相加的 和不可能是偶数，所以其中必然有一个数是2,另两个数的和就是98,要使乘积最大，这两个
5、数之间的差要最小，这两个数分别是37、61,所以乘积最大是2 X37 X61=4736o练习：三个不同质数的和是50,要使者三个数的乘积最小，这三个 分别是多少？例5要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？分析与解：将72分解成两个自然数的乘积，72=1X72, 1+72=73；72=2X36,72=3X24,72=4X18,72=6X12,2+36=38；3+24=27；4+18=22；6+12=18；72=8X9,8+9=17；这两个自然数的差最小的是9-8=lo猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9） X 2=34 （
6、米） 得出结论：3、两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然 数的和也越小，两个自然数的差越大，这两个数的和也越大。练习：.现计划用围墙围起一块面积为5544平方米的长方形地面，为将剩下的材料尽量用完，要求围墙最长，那么这块长方形地的围墙有多少米长？例6己知三个非零自然数的和是15,这三个数的乘积最大是多少？分析与解：分别设三个数为a、b、c,积=aXbXC,要使积最大，这三个数之间 的差要最小，当a二b二c时，他们之间的差最小（相差“0” ）,所以a=b=c=5时 乘积最大。练习：四个非零自然数的和是24,这四个数的乘积最大是多少？小结：儿个数的和一定，当儿个数相等时，积最大。
7、例7若将12拆分成儿个自然数的和，这儿个数的乘积最大是多少？分析与解：将12拆分成儿个相等的数，可以拆分成六个2,四个3,三个4,而 四个3相乘的积最大，所以积最大为3X3X3X3=81o练习：将21拆分成儿个自然数的和，这儿个数的乘积最大是多少？例8把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？分析与解：假设分成的自然数中有1, a是分成的另一个自然数，因 为1Xa 1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1 和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的 整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+
8、3V2X3, 8=3+5 3X5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分 成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4,因为4=2+2=2X2f所以可以将4分成两 个2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为 2+2+2=6, 2X2X2=8, 3+3=6, 3X3=9,说明虽然三个2与两个3的 和都是6,但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中 最多有两个2,其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时 乘积最大，为 3X3X3X3X3X2=486。结论4：把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然 数的乘积最大，那么这些自然数应
9、全是2或3,且2最多不超过两个。练习：把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？课后练习1、把15分成儿个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使的乘积尽可能大, 这个乘积是儿？2、把19分拆成儿个自然数的和，使这些自然数的乘积最大。3、把14分成儿个自然数的和，怎样分能使这些数的乘积最大。4、将11拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大, 该乘积是多少？5、要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈，长方形的边长是以米为单位的自然 数，这个猪圈的围墙最少长多少米？6、用铁丝扎一个长方体模型，为了使长方体的体积敲好是216立方厘米，长方 体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？这根铁丝最短是多少厘 米？7、18这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最 大。那么这两个四位数各是多少？
