《材料力学第六章重点解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学第六章重点解析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章弯曲变形本章基本要求： 1.熟练掌握梁的变形计算。 2.熟练掌握弯曲刚度的计算。 3.熟练掌握简单超静定梁的计算。 本章研究： 1.二重积分法求弯曲变形。 2.叠加法求弯曲变形。 3.弯曲刚度条件。 4.变形比较法求超静定梁。 6-1工程中的弯曲变形问题6- 2挠曲线的微分方程一.挠曲线、挠度与转角1 .挠曲线：变形后梁的轴线成为一个光滑、连续的在 xy平面内的曲线称之。挠曲线方程：w = f（x）亦称弹性曲线方程。2 .挠度：横截面形心在上于梁轴线方向的线位移称之。用“w”表示。符号视坐标系而定。3 .转角：横截面绕其中性轴转过的角位移称之，用“。”表示。符号：逆为正，顺为负。4 .挠
2、度与转角之间的关系：也=f，。dx几何意义：挠曲线上任意一点的斜率等于该截面的转角。二.挠曲线的微分方程由正应力公式推导的静力学关系：由高数知曲线w =f(x)上任意一点的曲率为又.d 2 w dx 2I dx J.1d2 w. TW土源代入得,、d 2 wM (x )dx 2 EI正负号的确定：见图d 2 w = M (x )wO x式为挠曲线的近似 微分方程。6-3用积分法求弯曲变形一.二重积分法由式得d 2 w () EI= M vx)dx 2对上式积分一次得车转角方程:dx + C EI9 = j M (x)再积分一次得挠度方程：EIw = jj M (x) dxdx + Cx + D
3、、式中的C、D为积分常数，由以下条件求解：1. 梁的边界条件：梁横截面的已知位移条件称之。2. 梁的连续条件：梁的轴线是条连续光滑的曲线，所以 梁上任意点的挠度与转角只有唯一的值。1.刚度条件g|max w ,|0 |maxp182例6 2简支梁受均布载荷作用，曲变形。(1)列弯矩方程(x )=上 qlx 一 q x 222fo如图所示，讨论其的弯解(0 x l)(2)二重积分法求变形方程EI9 = j M G I/x + C=qLx2 - qx3 + Ctxtx46EIw =M x dxdx + Cx + D=- x3 x 4 + Cx + D (1224(3) 由边界条件求积分常数C、D。
4、当x = 0时：w = 0代入式得 D = 0 ；当x = l/2时：9 = 0代入式得C = -(4) 将积分常数代入、式得转角与挠度方程EI0 =里x2 - qx3 -虻4624EIw =纭3-里x 4 -虻x 122424(5) 讨论最大挠度在梁的中点x = l/2处，其值为 5ql 4wmax = w 1 = - 384EI x2最大转角在梁的人、B截面，其值为0=-0 =0 =-max A B 24 EI例简支梁受一集中力作用，试讨论该梁的弯曲变形。p解r(i)列弯矩方程AC段：M1 =牛气CB段：(0忏)寻斋财定扁一 0.喔M 史 x - F G - a) 1 &121 22 广
5、：(aWx2 + C2 A A A A (k)EIw2Fb 3 F - a6Lx2-6+ C 2 x2 + D2 AAA(l)（3）由边界条件和连续条件求积分常数连续条件：当x =% =。时，。=。、巧=w 代入C = C ； D = D边界条件：当气=0时，wi = 0 （m）当 x = /时，w = 0 （n）（i）（k）与（J）1（/）式得 1212一一 2 2将（m）式代入（/）式得：D = D2 = 0 ；将（n）式代入式得：q= C2 =- L-b2 ）（4）将积分常数代入（i）（j）（k）（l）得转角和挠度方程AC段：（0xa）Fb”cEI01 = - （12 b 2 3 x2）
6、*4(o)(p )AC 段：(0WXWa)EIW = F!(12 b2 x2)A A A ACB段：(aWx Wl)2EI0 2 =-Fb(12 b2 3x2)+ 七(x2 a)2A A A (q)EIw =2(5)讨论Fb61(12 一 b 2 一 x2)x + b (x 一 a )3 A A (r )最大转角a b当 x = 0时：0 =竺竺(1 + b )A A (y)I 1A 6 EI1当 x = 1时：0 二些(1 + a )AA(r)2B6 EI1显然。max 9B最大挠度:0 ；又：9 A 3.将同一个截面上各个简单载荷梁的挠度和转角进行叠加：w 总= w +S w +S w0
7、=Z0 +Z0 +Z0总 F MP187例6.5外伸梁受与Fj作用的挠度。求截面B的转角和端点C解(1)将梁分解为几个简 单载荷作用下的梁见图。(2)查表求出各个载荷下的B的转角、C的挠度一F a 3(a)图：w -c 23EI(8)图=(C)(c)图:图+(d)图F L2-2()图:0 BF 216 EIFLa0 BM3EI (3)叠加截面B的转角为0 =0+0BBF2 BM16EI端点C的挠度为F L FLa+ -L - 3EIMCc坦cMbMM $F s f 叩一一F_-a =BMF LFLa2 a + -1a 3EI16 EI3EI=尝(a+l )一 FLa 3EI16 EIP191
8、例 6.6-简支梁的一部分受均布力。试求跨度中点的挠度。设 bVl/2。-解dF = q dx由其引起的挠度为dw = -xGl 2 - 4x2 )48 EIqx48 EIX1q : qdx 唧山，d xjTiqdxcc0)q48 EIqb2 ( 3/2 48EII 2b2JP204 习题6.18. .一在一简支梁的一半跨度内作用均布载荷q （图。），试求跨度中点的挠度。设EI为常数。解(。)图=(b)图+ (c)图图b的外力为反对称.在C点处的挠度为零，即:wb = 0c.w 中=wb + wc = wc55=12 J =q384EI76P207 习题 6.29已知A=75X 150mm ,
9、 F=3kN , E=200GPa，尺寸如图。求指针端点的位移$ 一解c3103 -0.93 -1012=1.728 x 104 m 3EI3 - 200-109 75 -150312FLFL22 EI 又，EN=?sinOB 20FLB 4EI.e FL FL 5 c = EN - Wg =EI - 3EI450_A._450_&顷：0/二N B=- = L728x104 = 0.432x104m = 0.0432mm 12EI4指针端点向下移动了0.0432mm。*.例题I6-5简单超静定梁(变形比较法)1. 确定超静定次数：一次超静定。2. 取静定基：解除多余约束8，以静定系统代替超静定
10、系统。3. 建立力的等效系统：多余约 束未知力七3、原有的均布力0。4. 建立变形的等效系统：巧广0：FZ /86.作弯曲内力图5. 用叠加法求3点上的位移：二.解题步骤1. 确定超静定次数：以确定补充方程数。2. 取静定基：解除多余约束，以静定系统代替超静 定系统。3. 建立力的等效系统：在静定基上加上多余约束未 知力以及原有的外力，使之与原受力系统等效。4. 建立变形的等效系统：即找变形协调条件。为了 使变形等效，在多余约束未知力作用点上的挠度或转角 一般为:w (或。)=0 ；或w (或。)=常数。5. 用叠加法求多余约束未知力 作用点上的位移w (或。)。此方 法称为变形比较法。6.
11、作弯矩图；求最大正应力。三.与静定梁做比较(1) 强度方面：多余约束提高了梁的强度。(2) 刚度方面：多余约束提高了梁的刚度。(3) 缺点：超静定问题常常有装配应力问题。已知l /l =3 / 2 ； EI /EI = 4/5 ； F 1212求联接处C的作用力F解(1)一次超静定RRFRCFRC=135 F 牝 0.808F RC 167(2)变形谐调条件w = w 9/ w =_ _RC 13 w = - RC 2c 3EI 1 c 3EI12F - F EI l3 4 23 _ 32Fre5 33135p209 习题6.35 (a)已知EI、l、&-求图示梁的最大弯矩解(1)一次超静定(2)变形谐调条件w = &. c F 13,(FJ)l. w =1RClc3EI3EI=J 3FRC哇Mmax3EI
