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1、第五节隐函数的求导公式一.一个方程的情形-二、方程组的情形三.小结思考题1.7.1由一个方程确定的隐函数的微分法我们常常碰到一些多丿前数，比因变址和口变让 的关系是以方程的形M给出的。例如在球面方程F + b +中,如果把7看作白变虽:，那么此方呈在平面 区域D = (x,y)lF + bQ上确立了两个连续 的二元函数Z = J_x2_yl:一般地，设有方程:尸3宀,耳,刃=0（1）Z Z如果存在一个n元函数y = /（x（,x2,兀J使得:F（xpx2上连续；(2) F, G/S上有连续的偏导数;(3) F(xO9 y09 %) = G(x09 y()9 5)=0；（严G）F、O(y,z)
2、Gv则存在5 0和定义在A =(无- 5,兀+ J)惟一的一组连续函数卩二“必I Z = z(x),/.-ZH F(兀,y(x),z(x) = 便得,xgAG(x, y(x), z(x) = 0(2)y, z在上有连续的导数H c(F2G) 0(x,z) d(F,Gydy _ G x GzdxdzdxF、JG、G； F*耳 Gy qG、. G.0(y,z)3(F,G)S(y,x)O(EG)c(.y,z)Q(y,z)G(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z 一 20_1= 12yz + 4y HO6z例】求由方程纟%+2严心2。 所确定的隐函数的导数 解法1:(公式法)设F(x, y
3、,z) = x2 + y2-zO(FG)0(x, Z)e(F,G)o = =5(二-1=12xz + 2x6z=2y 2x=4xy-8 = -4xyGy Gx 4y 2x12xz + 2x 6xz + x=i12yz + 4y6yz + 2y-4xy _ xy12yz + 4y 3 7 + y解法2:(用推d公式的方汕(22对方程, 的两边x2+2/+3z2 = 20 对x求导，得严+ 2y儿-廿2x + 4yyv + 6zzx = 0当? ： =12比+ 4护刖寸,由克莱姆法则有 4y 6z2x 1dy _2x 6z_ 6xz + x zzz dx12yz + 4y6yz + 2y2y 2x
4、dz 4y 2x xy :dx 12yz + 4y 3yz + y2.考虑方程组HUG(x, y,w,v) = O当它满足-定的条件时，可确定两个函数u = u(x, y), v = v(x, y)2勿 av-ar 迦対 加一，ar求 欲定理1. 7. 4（隐函数存在定理2）设川）、G（x,y,u,v）在点P（x。川，）的 某一邻域内有对各个变的连续偏导数，且F （心9儿9 叫,V。） = ，（“09丿0，“0，% ）=0,且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比 式）dF 3F a（F,G）_ du dv 3（w,v）欲;*； du dv在点P（Xou，心）不等于零，则方程组F（x,jMf）=
5、 0、 G（x,jj/,v） = 0 在点戸（丸,儿“川0）的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数 V =V（X,J）,它们满足条件心=1心心几）， （S几），井有du ia(F,G) dx J d(x.v)E F、G G, 化代G. Gdv1 6(F,G)=/化F、,oxJ d(mx)/Glt Gvdu1 Q(F,G)J尺/代F、,dy J 6(y,v)Gy G，/G G uvdv1 5(F,G)耳F、巴k/0yJ 6(”, y)Gu G、G“ G例 2 设xm - = 0,yu + xv = 1,求diidxdiidy解1直接代入公式;解2运用公式推导的方法，将所给方
6、程的两边对兀求导并移项avaravar V- X 一 + ar/ar饭& X J-m -yX 一“dii-VXxu + yv dv _y -ydxX - y入厂ar* 一 yy xy x在丿工0的条件下,yu - xvX +将所给方程的两边对y求导，用同样方法得 dii _ XV yudv _+ yvdy x2 +y2dy x2 + y2例3 设函数 z(x, y)山方程组x = ev-)匸严所确定求罠密ox dyz = wvdudvv +u. dxdx设 F(兀,y9 u. v) = euv-xG(x9y,u.v)=eu v -ydxG，X 1y 01=x x2xy 一 y同理可嚼哙營坛nx2xIn2 I - 一一 = ww 匹zzzF十(Z)丄,巧=耳_0(与缚,Z ZZZZd2rhF-Z 卩()比FzF：x-ypy-)Zz于是dx dy练习题一、填空题：1、设 in yjx2 + y2 = arc tan ,则2、设z 几则
