二次曲线的理论及其应用 开题报告

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1、二次曲线的理论及其应用开题报告开题报告二次曲线的理论及其应用一、选题的背景、意义解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求 .文艺复兴后的欧洲 进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代.机械的广泛使用,促使人们对机 械性能进行研究,这需要运动学知识和相应的数学理论;建筑的兴盛、河道和堤坝 的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题,这些问题的合理解决需要正确 的数学计算;航海事业的发展向天文学,实际上也是向数学提出了如何精确测定 经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法,望远镜与显 微镜的发明,提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题 .在数学上就需要研究求曲线 的切线问题.所

2、有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内 解决，于是，人们就试图创设变量数学作为代数与几何相结合的产物一一解析几 何, 也就在这种背景下问世了。1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作方法论，这本 书的后面有三篇附录，一篇叫折光学，一篇叫流星学，一篇叫几何学。 当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是 一个意思一样。笛卡尔的几何学共分三卷， 第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲 线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的 根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的几何学作为解析几何的 起点。从笛卡尔的几何学中

3、可以看出,笛卡尔的中心思想是建立起一种“普 遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代 数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想,笛卡尔 茨从天文和地理的经纬制度出发,指出平面上的点和实数对的对应关系。的不同 数值可以确定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。 这就是解析几何的基本思想。解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式 ,然后通过 代数方程来表示和研究曲线.要做到这一点,得有数学自身的条件:一是几何学已 出现解决问题的乏力状态 ;二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程 度。解析几何的产生并不是偶

4、然的。在笛卡尔写几何学以前,就有许多学 者研究过用两条相交直线作为一种坐标系;也有人在研究天文、地理的时候,提出 了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产 生了很大的影响。在数学史上,一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔 马也是解析几何的创建者之一,应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业 余从事数学研究的学者,对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他 性情谦和,好静成癖,对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道,他早 在笛卡尔发表几何学以前,就已写了关于解析几何的小文,就已经有了解析几 何的思想。只是直到 1679 年,费尔马死后,他的思

5、想和著述才从给友人的通信中 公开发表。笛卡尔的几何学,作为一本解析几何的书来看,是不完整的,但重 要的是引入了新的思想,为开辟数学新园地做出了贡献。恩格斯高度评价了笛卡 尔的革新思想。他说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了 数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的 了,而它们也就立刻产生了”二次曲线是解析几何中重要的一部分。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双 曲线和圆,通过直角坐标系,它们又与二次方程对应,所以,圆锥曲线又叫做二次 曲线。对于圆锥曲线的最早发现,众说纷法。公元前 350 年,希腊著名学者梅纳 克莫斯(公元前 4 世纪)企图解决当时的

6、著名难题“倍立方问题”(即用直尺和圆 规把立方体体积扩大一倍)。他在研究中发现了三种圆锥曲线,即现在所说的椭圆, 双曲线,抛物线,并用开始编写几何学的历史。古希腊的塞马力达斯开始解简单方 程组。公元前三至前二世纪,古希腊的阿波罗尼发表了八本圆锥曲线学,这是 较早关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。阿波罗尼斯的8 卷圆锥曲线论以其 几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而永垂史册 .可以这样说 ,在解析几何之前 的所有研究圆锥曲线的著作中,没有一本达到像圆锥曲线论那样的对圆锥曲 线研究得如此详尽的程度.但是,像古希腊所有的几何学一样,阿波罗尼斯的几何 是一种静态的几何.它既不把曲线看作是一种动点的轨迹 ,

7、更没有给它以一般的 表示方法.这种局限性在 16 世纪前,并没有引起注意,因为实践没有向几何学提 出可能引起麻烦的课题.16 世纪以后的情况就不同了.1079 年,阿拉伯的卡牙姆 完成了一部系统研究三次方程的书代数学,用圆锥曲线解三次方程。哥白尼 (Copernicus,1473-1543)提出日心说,伽利略(Galileo,1564-1642)由物体运动 的研究, 得出惯性定律和自由落体定律。1615 年, 德国的开卜勒发表酒桶的立 体几何学, 研究了圆锥曲线旋转体的体积。这些都向几何学提出了用运动的观 点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题 .地球绕太阳运转的轨道是椭圆、物体斜抛运动的

8、轨道是抛物线,这些远不是靠建立在用平面截圆锥而得到的 椭圆和抛物线的概念所能把握的.几何学要能反映这类运动的轨道的性质 ,就必 须从观点到方法来一个变革,创立起一种建立在运动观点上的几何学.17 世纪解 析几何的诞生创造了为二次曲线的研究创建了条件.作为点运动轨迹的二次曲线, 在引进坐标的基础上显示出更明显的特征 ,它是二次方程的图形 ,即它又被命名 为二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一（也是解析几何的基本内容）, 在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行 ,太阳系其他 行星也如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运

9、行速度增大到某种 程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要 遵照这个原理。相对于一个物体,按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动 , 不可能有任何其他的轨道了。因而,圆锥曲线在这种意义上讲,它构成了我们宇宙 的基本形式。我们知道由抛物线绕其轴旋转,可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有 一条轴,即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点,任何一条过焦点 的直线由抛物面反射出来以后,都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把 探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。由双曲线绕其虚轴旋转,可以得到单叶双 曲面,它又是一种直纹曲面,由两组母直线族组成,各组内母直线互不相交

10、,而与 另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时,就采取单叶双曲面的体形,既轻 巧又坚固。由此可见,对于圆锥曲线的价值,无论如何也不会估计过高。圆锥曲线内容是我们今后进一步学习数学的基础,而且涉及到的知识面很广,包括代数、三角、平面几何、立体几何等数学分科;包含了数形结合、等价转 换、分类讨论、逻辑推理、分析综合等方面的数学思想。因此,对于圆锥曲线有 着一个深刻的认识是极其有意义的。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文研究的主要任内容就是,通过对大量文献资料的查阅,寻找各种相关 信息,向人们介绍二次曲线的定义,并对二次曲线的性质与特征有一个基本的了 解。在此基础上加以整理和归纳,概括出二

11、次曲线的性质与几何特征,并对二次曲 线的分类,介绍了化简二次曲线的方法 ,以及二次曲线的一些性质与特征的进一 步讨论。并辅以典型的例题来论证方法的可行性,进而介绍了二次曲线方程的应 用,使我们所学知识加以巩固和提高,起到“温故”而“知新”的作用。三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标（1）、研究方法及路线探讨二次曲线的理论知识与应用问题,要理论联系实际,怎么把二次曲线 的知识应用到解题中,二次曲线的知识在解题中有很广泛的作用 .主要是通过大 量的搜查资料,寻找相关信息,总结二次曲线的理论知识和实际应用.我将会通过 上网和去图书馆借相关的书来得到资料信息.对资料中的理论研究成果进行整

12、理 分析,相互比较后进行总结并尽量得到新的应用.（二）、研究难点对二次曲线发展历程的认识以及对二次曲线性质的理解与证明 ,二次曲 线在解题中的应用,以及对二次曲线的相关知识的运用。（三）、预期目标本文的预期目标是在原有知识体系的基础上加以整理和归纳 ,概括出二次曲线的性质与几何特征,并辅以典型的例题来论证方法的可行性 ,进而介绍了 二次曲线方程的应用,通过解析例题,全面地掌握二次曲线思想的精髓,使我们所 学知识加以巩固和提高。在此基础上,我们可以将二次曲线进行推广和应用。四、论文详细工作进度和安排1. 收集资料完成毕业论文的文献检索 ,泛读相关文章,形成系统材料（1011 学年第一学期第8 周

13、至第 9 周）2. 完成文献综述（1011 学年第一学期第 10 周至第 11 周）3.完成开题报告（1011学年第一学期第 12 周至第 13 周）4. 研读外文文献,完成外文翻译（1011 学年第一学期第 14 周至第 15周）5. 进一步完善论文的资料、数据收集,精读其中的重要参考文献、列出文章的初步提纲（1011 学年第二学期第1 周至第2 周）6. 完成论文初稿撰写工作（1011 学年第二学期第 3 周至第 8 周）7. 审阅论文初稿,对论文进行反复修改（1011 学年第二学期第 9 周至第 10 周）8. 对论文进行完善,最后定稿（0910 学年第二学期第 11 周至第 12周）五

14、、主要参考文献:1 梅向明,刘增贤 ,王汇淳.高等几何第二版 M. 北京:高等教育出版 社,2000.2 郑崇友等.几何学引论（上）M.北京:高等教育出版社,2000:119-126.3 周建伟.解析几何M.北京:高等教育出版社,2005:129-169.4 胡芳举.二次曲线的两个优美的性质J.中华数学月刊,2006,6:12-13.5 熊光汉二次曲线的几个有趣的性质J.数学通报，1996,7:9-10.6 邹明.圆的若干性质的圆锥曲线推广J.中学数学研究,2004,5:23-24.7 徐 波 . 二 次 曲 线 的 几 何 特 征 属 性 J. 遵 义 师 范 学 院 学 报,2009,11

15、2:91-92.8 文 开 庭 . 二 次 曲 线 方 程 的 一 种 化 简 方 法 J. 华 中 师 专 学 报,2003:66-71.9 吴 炳 烨 . 二 次 曲 线 作 图 应 注 意 的 几 个 问 题 J. 闽 江 学 院 学 报,2010,312:21-23.10 王家凤二次曲线已知斜率的切线方程的应用J.中学数学教 学,1994:29-31.11 于 志 洪 . 二 次 曲 线 的 切 线 方 程 及 其 应 用 J. 中 学 数 学 教 学,1982:26-28.12 郝英斌.求二次曲线切线方程的规律J.中学数学教学,1994:31-32.13 崔萍, 高真秋. 二次曲线方程化简与作图的简易方法 J. 曲靖师范学 院学报, 2007,266:87-94. 14 Yu De-sheng. On a Fixed Value Theorem For Directed Areas in Conic Circumscribed Polygons and ApplicationsJ.Journal of Nanchang University,2009,244:485-490.15 Steven J.Leon. Linear Algebra with ApplicationsJ.Beijing mechanical