《2011成人高考(高数二)笔记、定理及公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011成人高考(高数二)笔记、定理及公式（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 那么它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x2D 当x1x2时,假设f(x1)f(x2),那么称f(x)在D内单
2、调增加( )；假设f(x1)f(x2),那么称f(x)在D内单调减少( )； 假设f(x1)f(x2),那么称f(x)在D内严格单调增加( )；假设f(x1)f(x2),那么称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 根本初等函数1.常数函数： y=c ， (c为常数)2.幂函数： y=xn , (n为实数)3.指数函数： y=ax , (a0、a1)4.对
3、数函数： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数: 由根本初等函数经过有限次的四那么运算加、减、乘、除和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限: 称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理: 假设的极限存在必定有界
4、.2.函数的极限： 当时，的极限： 当时，的极限： 左极限： 右极限：函数极限存的充要条件：定理：无穷大量和无穷小量1 无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。 X再某个变化过程是指： 2 无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。3 无穷大量与无穷小量的关系： 定理：4 无穷小量的比拟： 假设,那么称是比较高阶的无穷小量； 假设 c为常数，那么称与同阶的无穷小量； 假设，那么称与是等价的无穷小量，记作：； 假设,那么称是比较低阶的无穷小量。定理：假设： 那么：两面夹定理1 数列极限存在的判定准那么： 设： n=1、2、3 且： 那么： 2 函数极限存在的判定准那么： 设：对于点x0的某个邻域内
5、的一切点 点x0除外有： 且： 那么：极限的运算规那么 假设： 那么： 推论： 两个重要极限 1 或 2 1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在处连续：在的邻域内有定义， 1o 2o 左连续： 右连续：2. 函数在处连续的必要条件： 定理：在处连续在处极限存在 3. 函数在处连续的充要条件： 定理：4. 函数在上连续： 在上每一点都连续。 在端点和连续是指： 左端点右连续； 右端点左连续。 a+ 0 b- x5. 函数的间断点：假设在处不连续，那么为的间断点。间断点有三种情况： 1o在处无定义； 2o不存在； 3o在处有定义，且存在， 但。 两类间断点的判断： 1o第一类间断点：
6、特点：和都存在。可去间断点：存在，但，或在处无定义。 2o第二类间断点：特点：和至少有一个为， 或振荡不存在。无穷间断点：和至少有一个为函数在处连续的性质1. 连续函数的四那么运算： 设， 1o 2o 3o 2. 复合函数的连续性： 那么：3. 反函数的连续性： 函数在上连续的性质 1.最大值与最小值定理：在上连续在上一定存在最大值与最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x2. 有界定理： 在上连续在上一定有界。 3.介值定理： 在上连续在内至少存在一点 ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0 a 1 2
7、b x 推论： 在上连续，且与异号 在内至少存在一点，使得：。 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念 1导数：在的某个邻域内有定义， 2左导数：右导数： 定理：在的左或右邻域上连续在其内可导，且极限存在； 那么： 或：3.函数可导的必要条件： 定理：在处可导在处连续 4. 函数可导的充要条件： 定理：存在， 且存在。 5.导函数： 在内处处可导。 y 6.导数的几何性质： 是曲线上点 处切线的斜率。 o x0 x求导法那么 1.根本求导公式： 2.导数的四那么运算： 1o 2o 3o 3.复合函数的导数： ，
8、或 注意与的区别： 表示复合函数对自变量求导； 表示复合函数对中间变量求导。4.高阶导数： 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念 1.微分：在的某个邻域内有定义， 其中：与无关，是比拟高 阶的无穷小量，即： 那么称在处可微，记作： 2.导数与微分的等价关系： 定理：在处可微在处可导，且： 3.微分形式不变性： 不管u是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理 1.罗尔定理: 满足条件: y a o b x a o b x 2.拉格朗日定理：满足条件: 罗必塔法那么： 型未定式定理：和满足条件：1o；2o在点a的某个邻域内可导
9、，且；3o 那么：注意：1o法那么的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o假设不满足法那么的条件，不能使用法那么。 即不是型或型时，不可求导。 3o应用法那么时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4o假设和还满足法那么的条件， 可以继续使用法那么，即： 5o假设函数是型可采用代数变 形，化成或型；假设是型可 采用对数或指数变形，化成或型。导数的应用1 切线方程和法线方程：设：切线方程：法线方程：2 曲线的单调性： 3.函数的极值：极值的定义：设在内有定义，是内的一点；假设对于的某个邻域内的任意点，都有：那么称是的一个极大值或极小值，称为的极大值点或极小值点。 极值存在的必要条件：定理：称为的驻点 极值存在的充分条件： 定理一：当渐增通过时，由+变-；那么为极大值； 当渐增通过时
