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1、无穷积分的敛散判别法摘要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律 性的分析，总结.关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散The convergence and divergence method of infinite integralAbstract： this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method, and the method for some regularity analysis
2、 ,summary.Key Words： Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence、入 、前言我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是 被积函数必须是有界函数.但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况， 这时虽然可以用牛顿一莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不 是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了.这时，这个问题就变成积分上 限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题.这即是所谓的反常积分的敛散性问 题.这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方
3、法.1无穷积分的定义定义：设函数f定义在无穷积分区间1, +8)上，且在任何有限区间a,u上可积.如 果存在极限lim J uf (x)dx = Ju s a则称此极限J为函数f在a, +8)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J+8 f (x)dx = Ja并称Jbf (x)dx收敛.如果极限不存在，为方便起见，亦称J+8f (x)dx发散.类似地，可定义f在(-8,b上的无穷积分：J b f (x)dx = lim j bf (x)dx-8U S u对于在(-8, +8)上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义：J+8 f (x)dx = J+8 f (x)dx + Jb f (x)d
4、x，-8-8 其中。为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.2无穷积分的性质性质1若卜f (x)dx与卜f (x)dx都收敛，k , k为任意常数，则a 1a 212J* k f (x) + k f2(x)dx也收敛，且f+ k f (x) + k f (x)dx = k J* f (x)dx + k f+ f (x)dxa 1 12 21 a 12 a 2性质2若f在任何有限区间a,u上可积，a b，则J+ f (x)dx与J+ f (x)dx同 ab敛态，且有J+ f (x)dx = J b f (x)dx + J+ f (x)dxaab其中右边第一项是定积分.性质3若f
5、在任何有限区间a,u上可积，且J+H f (x) I dx收敛，则J+(x)dx亦必收敛，并有IJ+ f (x)dx I 1时，limju一 = u 3 1 xp p -1而当p 1时收敛，其值为1；当p 0，存在G a，只要 au1、u2 G 便有| j u2 f (x)dx - j u1 f (x)dx |=| j u2 f (x)dx |aau1因此我们可以利用柯西准则的充分性来证无穷积分j+3f (x)dx是否收敛.a在下面证明狄利克雷判别法时就用到了柯西准则来判别无穷积分的收敛与发散.3. 3比较判别法这是无穷积分的绝对收敛判别方法.由于ju| f (x) l dx关于上限u是单调递
6、增的，因此j+3| f (x) l dx收敛的充要条件是 aajU l f (x)l dx存在上界.根据这一分析，我们得到下述比较判别法：定理2 (比较法则)设定义在a, +3)上的两个函数f和g都在任何有限区间上a,u可积，且满足| f (x) | 0 ,且lim f (X)= c ,则有：* g (x)(i) 当 0 c 1,0 X+8 时，J+8I f ( x) I dx 收敛；a(ii) 当 p 1,0 1 时，取a，1 a n，则 lim x + X)= lim + X)= 0 .由柯西判别XT+8Xn XT+8 Xna法知J+8些攵dx收敛.1Xn当 n 1 时，则 lim xn
7、+ X)= lim ln(1+ x) = +8 .由柯西判别法知 J+8 + X)dx 收X T+8XnXT+81 Xn敛.3. 4狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理3 (狄利克雷判别法) 若F(u) = f uf (x)dx在a, +8)有界，g(x)在a, +8)上 a当X T+8时单调趋于零，则f+8 f (x)g (x)dx收敛.a证 由条件设11 uf (X)dx I 0，由于lim g ( x) = 0，因此存aXT8在G a，当x G时，有I g (x) l G，存在&, U2，使得Ju f (x)g (x)dx = g (u )F f (x)dx + g (u Ju2 f (x)
8、dx .u11 u12 &于是有IJu f (x) g (x)dx I | g (u )ll F f (x)dx l+1 g (u )l -1Ju f (x)dx Iu11u12 g=l g (u )l -1J & f (x)dx-J，f dx l+1 g (u )l -1Ju f (x)dx-Jg f (x)dx I1 aa2 aa 1时收敛，则由比较1 xp1 xp解当p 1时，因为I迎 | ，xpxp法知J+也dx收敛且绝对收敛.1 xp当0 p 1的有 IJu sin xdx l=l cos1 - cos u I 01xp时单调趋于零（xT+8 ），故由狄利克雷判别法知J+8Sinxd
9、x当p 0时总是收敛的.1 xp但另一方面，由于.sinx. sin2 x1 cos2x、Il=一，x e 1,+8)，xpx 2 x2 x其中J+8竺竺dx =1J+8costdx满足狄利克雷条件，是收敛的，而J +1 dx是发散12x2 2 t1 2x的，因此当0 v p 1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条件收敛的.当p 1时绝对收敛，0 V p 1时条件收敛，p 0 1 xp时发散.3. 5根值判别法定理5设f (x)为a, +8)上的非负函数，若lim xfX = P则当P 1时，反常积分J+8f (x)dx发散.aa证(i)取1 一 P c 0，任给x A时，P 一v Aj +8 p xdx = lim Pa 0x * ln P00|x=lim 1x.8 ln P (P001In P P0收敛.从而f+8 f (x)dx收敛.a(ii)由 P 1，取 s =- 0，2存在A 0，任给x A时，有1PP一TV xf (x) VP+1一 V xf (x) = P , P 1，211f (x) p .x,x A .j +8 p；dx = lim axs1 1 / P |x = lim(P x p ln P 1 a xm ln P 1111)=8发散，故+8f(x)dx发散.例5讨论无穷积分卜2dx的敛散性0
