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1、第五节更复杂情况下的Ito公式第八章随机积分第二节to积分的理论第三节Ito积分的特征第四节Ito定理及应用第一节引言!1!第一节引言、Ito积分的导出在物理现象中是用微分方程来描述其模型， 而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微 分与积分的关系，建立相应的积分方程。但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不 断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的 函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微 分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分一 Ito积分，建立积分方程。首页前面讨论的随机微分等式，其中的项dS,、dWt 都只是近似讨论，而没给出精确的解释。但如果给出 Ito积分的定义，反过
2、来才能更确切地讨论。即若用微分方程dS t = a(S t, t)dt + a (S t,t)dW代表资产价格的动态行为，那么能否对两边取积分，即=f aS , udu + cr (5 , u)dW Jo uJo 也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义?首页为解释此项积分的含义，需引进Ito积分也就是说，一旦定义Ito积分，则上积分等式才有意义即有/ + A/ + /?Sm - S/ = J a(Su,u)du + J b(S八u)d%首页其中h为一定的时间间隔。若a(Su.u)和b(S“w)是二 和u的平滑函数， 即当h很小，它们在UEt,t+h内变化都不大则上等式改写为t+h/ + z
3、+ ZzS( = q(S/,)J du + b(S/昇)JS+_S( = a(StJ)h + a(StJ)Wt+h-Wt或S t = a(S t.t)h + cr(St,t)/Wt这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式此表示式为一近似式，其精确公式为dS t = aS t, t)dt + a (S t,t)dW t二、Ito积分的重要性首先 随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义，要 理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解 Ito积分。首页其次 在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔， 得岀随机微分方程的近似值，然后再通过Ito积 分就可以给岀近似值的精确形式。返回第二节 Ito积分的理论
4、ItO积分是用来定义随时间的变化无法统计和不 可预测的随机增量的总和。一、Ito积分的定义布朗运动 维纳过程W(t) , t0首页EW(t) = 0V6zr (/) W(s) = cr2 t-s2R(s,t) = amin( s.t)CT = 1CT H 1W(t)W(t)/a标准布朗 运动定义1设 X (0 ,t g a.b 为二阶矩过程，0 d Z?。W(t)是标准布朗运动R(s,t) = min( s.t)满足Var W(0 W($) = s I对a.b的一组分点=G v心vv tn=b亠=m严E - j)kn n作和式 人=工X(W(I-W( j)k = 如果均方极限1. i.m In
5、 存在n oo则称此极限为X(0关于W(T)的Ito积分，注意在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式n即 Y” 二工 X(r；)W(S)W(S)k = tk E 匕-l tk 原因是当r；在匕-i,-中任意选择时，丫”的均方极限将不存在所以这里取固定的左端点。定理1设X (0均方连续，且对任意$：，S； tk_x %及 s2 o 是维纳过程M a.b的一组分点:a - - tn - bm严(tk-tk 0首页因为 Wtk)N(0，M)2X4- cof认7J ooEAW(tk )4=3tQ2呻kX x2e 2dx =3AtkEAW(tk)2oon首页b试求(/)J W(t)dW(t)k = 1+
6、1=一加(r)+ y2k=-W 2 (b) - W 2 (a)21 . 二 1. i. id 2 n t oo k=i1 _i2a - tx - tn - b对a，b的一组分点:k 因为如果W(0是普通函数，积分不能有-丄(b a)2二、ItO积分的性质性质 1若 Ito 积分 f X(t)dW(t) ,存在 则(1)(2)r(aX(f)+ 0Y(f)dWa)= a C X(t)dW(t) +J aaX (t)dw (0 = ( x (t)dw (0 +X (t)dw (0J aJ aJ c首页首页证明与黎曼积分相仿(略)首页首页性质3 若C x（t）dw（t）存在,则性质2 设维纳过程y(0
7、 = J X(s)dW(s),贝IY(f)的均值和相关函数为EY(t) = Omin( H ?Ry (trt2) = J X (s)ds证明 略首页y（0 =x（s）dw（s）a存在且关于（是均方连续的。证明性质3 若C x（t）dw（t）存在,则Er（r + A）-r（O2 = | x（s）w（s）性质3 若C x（t）dw（t）存在,则性质3 若C x（t）dw（t）存在,则首页t + h=IEXs）ds故y（0关于r是均方连续三、Ito微分法则愍二海距歼逵x()( V a相互独立这时 称(1)式定义的随机过程X有(Ito)随机微分A(t)dt + B(t)dW (r)并记为首页dX (0
8、 = A(t)dt + B(t)dW 例2 求随机微分d(Wa)解 由例1可知z1. 1(W(f)dW(0 = _W (0- Jo2/即 w 2( = f +2(W(t)dW (?)Jo由随机微分的定义d (W 2(/) = dt + 2W (t)dW (0首页定理3Ito公式设/亿X(0)是关于(和随机过程X(t) / g T 的二次微分函数，若X0)的随机微分是dX (0 = A(t)dt + B(t)dW (0则 y(o = /(z,x(o)在厂上也有随机微分， 且ar（o = /a9x（o）+ /; tx（o）a（o2首页+ （0例3 求随机微分“(MP)解设=因为 dX (0 = 0
9、/(0 = dW /(z,X(O) = wt)(r, X (r) = 2rW (O fx (几 X ()=2r所以由Ito公式得d (tw 2 (Z) = W 2 (0 + tdt + 2tw a)dW 首页定理4设普通函数F（t,x）三F （乙兀，兀2, ，兀?）及其导数尸0（人兀）三Fdia兀2，兀汝)=F(t.XX2,dt心）首页如果随机过程X卫）有随机微分a耳亿兀）三件亿“，兀2，兀加）=尸（匚“，兀2, ，兀加）dx.Fjj（t,X）三笃亿兀1，兀2,，兀）=尸亿兀1，兀2, ，兀加）Sj都是连续函数.hj = 1, ，加dX (r) = A.(t)dt + B.(t)dW (0II
10、I则 W） = F亿X（切三F亿XJ X2（，X加（t）有随机微分mdY (0 = Fa, X (0) + X 耳“，X )4(f)Z=1 m+ 工F” (人 X(r)3,(r)3j(r)2 i,j=im+ 工件匕 X(0)场(/)dw (/)i=是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现， 称为Ito公式首页四、Ito随机微分方程设W(t) 9tGT 是布朗运动,则在Ito积分和微分的基础上建立的随机微分方程(dX+ g(t,X(t)dW ! xa)= x。称为Ito随机微分方程首页与Ito随机微分方程等价的Ito随机积分方程其中右边第一个积分是均值积分，第二个积分是Ito积分例4考虑Ito方程dx =一 一X (M + X (t)dw (0 V2f (人 x) = In x由Ito公式得X
