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1、电磁测深教程 第二章 电磁场基本理论第二章 电磁场基本理论2.1 麦克斯韦方程组与波动方程2.1.1麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组描述了电磁场最根本的规律，在时间域中的表示式为： (2.1.1)(安培定律) (2.1.2)(是涡旋场) (2.1.3)(库仑定律) (2.1.4)上述方程中的各个量，为电场强度（）；为磁感应强度（），或磁通密度（）；为磁场强度（）；为电位移矢量（）；为电流密度（）；自由电荷密度（）。麦克斯韦方程的物理意义是，它建立了场强矢量、电流密度及电荷密度之间的关系。(2.1.1)(2.1.4)式描述介质中产生的场的特点，且在场源以外区域成立。如果考虑一次场源作用，则(2.1.
2、2)式右端应加一次场电流密度及(2.1.4)式右端应加一次电荷密度。还应写出三个物质方程，即： (2.1.5)在麦克斯韦方程中，作为描述电磁场状态的基本方程应有电流连续性方程。它实质上来源于上述方程组。实际上，对(2.1.2)式两边取散度： (2.1.6)由于矢量旋度的散度恒等于零，故:考虑到(2.1.4)式，上式可写为： (2.1.7)此式描述了这样一个事实，即单位时间内通过一个封闭面流出或流入的电流量等于这一封闭面包围的体积内电荷减少或增加的数量。还应指出，上面的(2.1.3) 和(2.1.4)式可由(2.1.1)和 (2.1.2)式导出。如在(2.1.1)式两边取散度，得：因为一个矢量的
3、旋度的散度恒等于零，即，因此B的散度不随时间而变化，但本身是随时间变化的，故只能是。类似地，从(2.1.2)式，由于，考虑到(2.1.7)式，有：上式表明，是不随时间而变化的，但和本身可以随时间变化,故有，即：(2.1.4)式是一个较为普遍的公式。实际上,在电法勘探的野外工作中遇到的是导电介质。在这样的介质中讨论电荷密度的状态是有意义的.利用物质方程可将(2.1.7)式写为：故 即 其解为：即随着时间t增加,在导电介质()中电荷密度将趋于零。令,则为时间常数,经过时间初始电荷密度减少倍。令，则。可见，在导电介质中电荷密度会很快地消失。所以在我们所遇到的导电介质中可认为： 2.1.2电磁场的矢量
4、位和时间域波动方程在各向同性均匀导电介质中麦克斯韦方程变为： (2.1.8) (2.1.9) (2.1.10) (2.1.11)类似稳定电场中引入标量位一样，在电磁理论中引入矢量位函数来求问题是很方便的。这时，电场和磁场可由矢量位函数的微商直接求出。由(2.1.10)式可以看出，矢量是涡旋场（即无散场），故可表示为另一任意矢量的旋度，即： (2.1.12)由上式可认为磁场是由矢量位产生的，可见，带有电性源的性质。关于矢量位的称呼在电磁场论中至今还不统一。在有些书中根据原因将称为电矢量位，而另一些人认为根据结果称为磁矢量位。将(2.1.12)式代入(2.1.8)式，得：或 上式说明，括号内的矢量
5、是无旋的，亦即可表示为任一标量函数的负梯度，即：或 (2.1.13)将上式和(2.1.12)式代入(2.1.9)式，得： (2.1.14)利用矢量恒等式 (2.1.15)和罗伦兹条件： (2.1.16)由(2.1.14)式得： (2.1.17)将(2.1.13)式代入 (2.1.11)式，得：或者 利用(2.1.16)式的关系代入上式，得： (2.1.18)(2.1.17)和(2.1.18)式是电磁场的矢量位和标量位所满足的时间域波动方程，或在数学物理方法中称为电报方程。 罗伦兹条件乃是加在任意矢量和标量位函数和上的唯一限制条件。正是由于引入了这一条件，使得和的方程具有对称性，即使得这两个位满
6、足同一形式的波动方程。 可以证明，在均匀各向同性介质中，、以及也满足(2.1.17)和(2.1.18)式相同形式的波动方程。对(2.1.9)式取旋度得：以及利用(2.1.15)和 (2.1. 8)式,可写成：或(因为) (2.1.19)类似地,取(2.1. 8)式的旋度,利用(2.1.15)式及可得： (2.1.20)由于，入上式得： (2.1.21)下面，我们还引入新的矢量位。定义它是电磁性源，如不接地回线、线框等所产生的电磁场的矢量位，即为磁矢量位。由于导电介质中电荷不能保存，故有：故可令 (2.1.22) 将上式代入到(2.1.9)式，得： (2.1.23)根据矢量恒等式，任一标量位应满
7、足下式所以，在一般情况下有下式成立 (2.1.24)将(2.1.22)和 (2.1.24)式代入到 (2.1.8)式及利用 (2.1.15)式，得：如果限定前面任意给定的满足下述罗伦兹条件 (2.1.25)则： (2.1.26)即为矢量位所满足的时间域波动方程。标量位所满足的波动方程为：在我们所推导的时间域波动方程中需要注意的是均有矢量位或场对间的一阶和二阶微商。当场变化很快和介质电阻率时，一阶微商的项可以忽略，使方程变为纯波动性的。相反，当场变化比较缓慢且传播在良导电介质()中，则表征波动性的二阶微商项可以忽略，即： (2.1.26)式中为任意场的矢量，如或、等。此式称为热传导方程或扩散方程
8、。因此，在良导介质中或强烈吸收的介质中的电磁场不按波动规律传播，而遵循扩散规律，即类似于热的传导过程。如果引入一个单一的矢量赫兹矢量代替上述的矢量和标量位和.则常常更便于某些问题求解。为此，令： (2.1.28)这时，为了使罗伦兹条件(2.1.16)式得到满足，仅需要定义： (2.1.29)将(2.1.28) 和(2.1.29)式代入(2.1.13)式，得：利用(2.1.15)式，上式可写成： (2.1.30)为了令也满足上述所有形式的波动方程，可令： (2.1.30)因此： (2.1.31) (2.1.32)这样，解一个波动方程(2.1.30) 式后，便可通过(2.1.31)和 (2.1.3
9、2)式的微分运算求出场和。2.1.3谐变电磁场的波动方程在频率域中讨论波动方程同样具有重要意义。在这里最重要的时变函数形式是随时间谐变的稳态交变电磁场，即和。其中取正谐时还是负谐时是任意的，二者在求解过程中所用的函数形式上有些差别，但最终导致同样结果。不用作者采用不同谐时关系.故大家应熟悉不同谐时的推导过程中方程形式的差别。令在前面所提到的所有矢量和标量的波动方程(2.1.17) (2.1.21) 、(2.1.26) 和(2.1.30)中的场量均以代替，将代入均可得当采用正谐变时的时候方程的形式写为： (2.1.33) (2.1.34)而方程的形式写为： (2.1.35)时，则： (2.1.3
10、6)当采用负谐变时的时候方程为： (2.1.37)则 (2.1.38)方程(2.1.33)、 (2.1.35)和 (2.1.37)称为亥姆霍兹方程。k称为介质的波数或传播系数。亥姆霍兹方程是个齐次方程，是描述在导电介质中产生的感应二次场的方程。该场与场源产生的一次场一起形成电法勘探中的总场。 当低频电磁波在导电介质中传播时.可以忽略位移电流作用。实际上，在一般野外工作条件下由于忽略位移电流可将传播系数写为： (2.1.38)根据(2.1.37) 及(2.1.38)式，在谐变场情况下，矢量位的方程由(2.1.17)式改写为： (2.1.39)式中 磁场由(2.1.12)式求出。为了求出电场将(2
11、.1.13)式重写为： (2.1.40)而罗伦兹条件(2.1.16)式对负谐时的谐变场有： (2.1.41)式中 将(2.1.41) 式代入到(2.1.40)式，得： (2.1.42)因此，通过一个矢量位用如下方程组表示出两个矢量和： (2.1.43)对于矢量A*，也可作同样的推导。在谐变场情况下，由(2.1.25)式得 (2.1.44)式中电场由(2.1.21)式求出。为了求出磁场，从(2.1.24)式得故有 (2.1.45)而(2.1. 24)式变为 (2.1.46)与矢量位一样，通过一个矢量A*用如下方程表示出两个矢量和 (2.1.47)比较(2.1.43) 和(2.1.47)式不难看出如下电磁类比现象，即 (2.1.48)这就意味着，从电偶极子场的解可转换到磁偶极子场的解，反之亦然。2.1.4边界条件一般分离变量法求解亥姆霍兹方程。为取得唯一解必须附加边界条件，才形成定解问题。考虑矢量位在具有不同电磁学性质和的两种介质分界面
