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1、-关于焦点三角形与焦点弦1椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。设，则有：P，当即为短轴顶点时，最大，此时的面积当即为短轴顶点时，最大，且 AB2经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。设，的中点为，则弦长左焦点取+，右焦点取-当轴时，最短，且关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2 点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法典例剖析1 求椭圆的标准方程【例2】设椭圆的左焦点为，上顶点为，
2、过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于，且1求椭圆的离心率。2假设过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程。【解】1由可得： 由可得：，将点坐标代入椭圆方程可得：。 即 2由1得：，圆心为，半径于是有：(圆心到直线距离)， 所以 。故椭圆方程为：【例4】椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点1求椭圆的方程2假设，求直线的方程4求的最大面积【解】1 椭圆方程为：2设直线的方程为：，且设联立消去，得：则 从而求得：由得 ： ，求得 所以的方程为：4由1得：令 ， 则 当且仅当，即时，取所以的最大面积为2 椭圆的性质【例6】椭圆的两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使
3、得1求椭圆离心率的取值范围2当离心率取最小值时，的面积为，设是椭圆上两动点，假设线段的垂直平分线恒过定点。求椭圆的方程；求直线的斜率的取值范围。【解】1设椭圆短轴的端点为B,由及椭圆的性质得： 所以，从而 ，即，又， 所以，得：，所以 。2当取得最小值时，在短轴顶点，所以， 又，故求得：。 所以椭圆方程为：设，设直线的方程为，的垂直平分线方程为：联立消去得：则有即 又有: 从而所以的中点为 。又在的垂直平分线上，所以， 即 将代人求得：求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：1不等式；2椭圆上的点的横坐标满足；3；4椭圆内部的点满足；【例7】椭圆的中心在原点，焦点在轴上
4、，斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，与向量共线。1求椭圆的离心率2设为椭圆上任一点，假设，求证：为定值【解】1设椭圆方程为，设， 由：直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得：， 由韦达定理得：，易知： 因为与向量共线，所以 ， 而，所以， 即 ，于是有： 又 ，所以，故有：。2由1得：，所以椭圆方程为：，即，直线AB的方程为：，于是有：，从而，。于是。设，由：，将M的坐标代入椭圆方程得：， 即， 于是有：。 故为定值。【例8】为椭圆上一动点，弦分别过焦点，当轴时，恰有. 1椭圆的离心率2设，判断是否为定值？【解】1当轴时，从而 依定义有，所以 而，所以 ，即 。2由1可知椭圆方程为：，
5、设假设的斜率都存在，则直线的方程为 代入椭圆方程，并整理得：由韦达定理有由：；同理可得：所以假设有一个斜率不存在，不妨设轴则 所以 综上所述为定值。3. 最值问题【例11】椭圆，是垂直于轴的弦，直线交轴于点，为椭圆的右焦点，直线与交于点1证明：点在椭圆上2求面积的最大值【解】1由。设，则且，与的方程分别为：联立两直线的方程求得： 即 因为， 所以点在椭圆上2设直线的方程为过焦点且联立则由：所以 所以令，函数递增， 所以当时，取得最小值，故当时，取得最大值【例14】椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点1求的面积的最大值2当的面积最大值时，求的值【解】1由得：设直线的方程为，且设联立则有
6、：由可得：令易证函数在上递增*，所以当时，取得最小值，故当时，取得最小值， 故的最大值为。2当最大值时，从而，而所以4 直线与椭圆的位置关系【例16】是椭圆的左，右焦点，直线与椭圆相切。1分别过作切线的垂线，垂足分别为，求的值3设直线与轴，轴分别交于两点，求的最小值。【解】1设直线的方程为，由: ，。 所以 ；。 于是。 联立，消去y，的：。 因为直线与椭圆相切，所以。 所以 为定值。 2易知：，。 所以 。当且仅当，即时取等号。 所以 。【例17】椭圆，过点作直线与椭圆顺次交于两点在之间。1求的取值范围； 2是否存在这样的直线，使得以弦为直径的圆经过坐标原点？假设存在，求的方程，假设不存在，
7、说明理由。【解】1方法一：联立方程法当直线的斜率存在时，设直线的方程为且设。联立， 消去，并整理得：则有， 求得：又有设 ，则有，即 从，中消去可得：而 ， 所以 。 而 ，故求得：当直线的斜率不存在时，综上所述， 的取值范围是方法二：点差法 设，则有：， 所以，即于是有 (1)(2) 得：，即 由， ，所以 而， 所以 2假设满足条件的直线存在，设，则由1可知：从而求得：于是有： 满足 故满足条件的直线存在，且直线方程为：或【例19】2010*椭圆的左，右焦点为，左，右顶点为，过点的直线分别交椭圆于点1设动点，满足，求点的轨迹方程2当，时，求点的坐标3设，求证：直线过轴上的定点【解】1由题意
8、知:，设，则， 化简整理得: 2把代人椭圆方程,分别求出: ， 直线 ; 直线、联立,得： 3由: ，直线与椭圆联立，得：直线与椭圆联立，得：直线的方程为：化简得令，解得，即直线MN过*轴上定点。三 解题小结1. 离心率是圆锥曲线的重要性质，求离心率及其取值范围，就是寻找与或之间的关系2. 求与椭圆有关的最值问题,有三种方法：1几何法;2三角代换法;3转化函数，利用函数的单调性求最值3. 直线与椭圆的位置问题两种根本方法：1联立方程法;2点差法，前者涉及弦长与中点，后者涉及斜率，中点等.4. 关于椭圆的补充性质常在解题中遇到：椭圆的内接矩形的最大面积为.过焦点 的直线交椭圆于P, Q两点，则当轴时，的面积最大，且最大面积为.设右准线与轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P, Q两点，点与点P关于轴对称，则直线一定过椭圆的右焦点，且 .设点P是右左准线上任一点不在轴上，是椭圆的左右顶点，直线, 与椭圆分别交于两点，则直线一定过椭圆的右左焦点。过右左焦点的直线与椭圆交于两点，是椭圆的左、右顶点，直线的交点一定在右左准线上。. z.
