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1、word1绪论在一般的数学分析中，仅讨论了一元函数与二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元与更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进展诸如建筑、饲养、产品制造与其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业开展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景
2、等问题.工程技术、自然科学与日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义1原点是极大值在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数在点的某个领域内有定义, 对该邻域内异于的点,如果都适合不等式 ,如此称函数在点取极大值; 如果都适合不等式,如此称函数在点(小)值的点称为极大(小)值点.例如：图1-1图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 于点的邻域内有定义, 并且当时, (或) ,如此说函数在点有极大值(或极小值) ,点称为函数的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值
3、取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进展详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法如此.2.3 多元函数的极值的几个判定定理1不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点在点具有偏导数且取得极值,如此它在该点的偏导数必为0,即将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2设函数在点的邻域内有定义,在点具有偏导数,可微分的函数仅在稳定点即在偏导数是0的点能达到极值,所以函数的极值点应当满足方程组 ().证明:在点取得极值,如此固定,在点取得极值,同理.另
4、外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3设函数在点的某邻域内连续且有一阶与二阶连续偏导数, 又令,令, , ,如此在处是否取得极值的条件如下: 1) 时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值;2) 时没有极值;3) 时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4设,在点的某邻域内有直至阶的连续偏导数,又设是稳定点,记,即:,再记矩阵, 如此: (1)假如矩阵的各阶顺序主子式全大于零,就有在点取得极小值.(2)假如矩阵的各阶顺序主子式全大于零,如此在点有偶数阶主子式小于零,在点没有极值.证明:多元函数 ,由,，其中 ,
5、将看作是元二次型,如此由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A的各阶顺序主子式全大于零时,是正定的,当时,如此在点取得极小值,而由是负定的充要条件就是是正定的,于是当的各阶顺序主子式全大于零,在点取得极大值,假如矩阵有偶数阶顺序主子式小于零,既非半正定也非半负定,取值可正可负,在点没有极值,定理3是定理4的特殊情况.2.4 定理的应用112.4.1 多元函数的最大值与最小值例1：在坐标面上找出一点，使它到三点、距离的平方和为最小.解：设为所求之点，为到、三点距离的平方和，即，所以对求偏导数，有，即，解方程组得驻点，由问题的实际意义，到三点距离
6、平方和最小的点一定存在，可微，又只有一个驻点，因此即为所求之点.2.4.2 研究如下多变量函数的极值例1,求多元函数的极值情况.解:由得稳定点 ,二阶偏导数，, 的各阶顺序主子式全大于,故在点取得极小值.例2,求多元函数的极值情况.解:由得稳定点与 , 在处,的各阶顺序主子式, , 全大于零, 如此在点取得极小值,在点处,的各阶顺序主子式不全大于零, 此时,当而当均大于时,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例.2.5.1 引理
7、与定理引理1假如函数在的邻域内存在二阶导数,且,如此(1) 当时,是函数的极小值点; (2) 当时,是函数的极大值点.引理2 2假如n 元函数在驻点的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点处作矩阵如此a) 当为正定矩阵时,元函数在处取得极小值;b) 当为负定矩阵时,元函数在处取得极大值; c) 当是不定矩阵时,元函数在处不取得极值.定理1 设函数在的邻域内具有二阶连续偏导数,且, , ,如此当时,由方程确定的隐函数在处取得极大值;当时,由方程确定的隐函数在处取得极小值.证由,得,又 , 所以又因为,所以. 由引理1知,当时,即当时,在点处取得极小值;当时,即当时,在点处取得极大值.定理2 设函数
8、在点的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且, . 由方程所确定的元函数,如此当a) 当为正定矩阵时,在处取得极小值;b) 当为负定矩阵时,在处取得极大值;c) 当为不定矩阵时,在处不取得极值.其中证由,得.又 ,所以在中对求偏导数得因为, .所以所以. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当为正定矩阵时,在处取得极小值;b) 当为负定矩阵时,在处取得极大值;c) 当为不定矩阵时,在处取得极值.其中 2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 所确定的隐函数的极值.解令, 由得驻点,而, ,所以. 而为负定矩阵, 为正定矩阵,由定理2知函数在处取得极大值;在处取得极小值.对某些条
9、件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求在条件下的极值.解:将代入的表达式, 得. 令 . 解得:.得驻点. 而.所以,且. 即是正定矩阵.所以在点处取得极小值3. 又由得,所以在条件下,与对应的点为.所以原函数在条件下,在点处取得极小值,且.同理可知函数在点处均取得极小值且极小值为3. / 3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果在有界闭区域上连续,如此在上必定能取得最大值和最小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在上连续、在内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值
10、(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数在内的所有驻点处的函数值与在的边界上的最大值和最小值相互比拟,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数的最大值(最小值)一定在的内部取得,而函数在内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值(最小值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路83.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少? 我们知
11、道易拉罐的主体局部是正圆柱体, 1: 1时, , 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装终究设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到表格转下一页:说 明尺 寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体局部半径正圆柱局部的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体局部半径正圆柱局部的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对局部数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2 分析和假设3.2.2.1假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的
12、材料要硬)罐的厚度一样,记作.3.2.2.2假设硬度表现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他局部的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立与求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为(直径),罐的高为,罐内体积为,是自变量, 所用材料的体积是因变量,而和是固定参数,是待定参数.和分别为：,注意,饮料罐侧面的体积应为因为 ,所以可以忽略.3.2.3.2建立模型记其中S是目标函数,是约束条件, V是的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求外表积最小的r,
13、h和a使得r, h和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3模型的求解 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题从解出代入S,使原问题化为:求使最小,即求r使最小.令其导数为零得解得驻点为因此测量数据为 ,即,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3r确实使S ，.,因此,这个r确实使S达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小. 应用算术几何平均值不等式(当时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大)., ,当且仅时等号成立.令 ,于是有当且仅当时等号成立,即,结果一样. Lagrange乘数法(增加一个变
14、量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题) 求函数在条件下的极值，设二元函数和在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且,不同时为零，求函数在约束条件下的极值，按以下方法进展：a) 构造辅助函数其中称为拉格朗日乘数.b) 求的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得与，如此是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.引入参数 ,令从第2, 3式解得，,代入第1式得和前面的结果一样.3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,可以把饮料罐的体积看成两局部,一是上底半径为3厘米,下底半径为厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为厘米,高为立方厘米和34
15、9立方厘米总共为,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10非常接近黄金分割比.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的局部的斜率为, 这保证了和饮料罐的薄的局部的焊接(粘合),顶盖的半径为厘米,.问题化为:当固定时,求使立方厘米,即所以,高是直径的倍!3.3 多元函数极值的实际应用例19冻果汁的定价一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖美分，外地牌子的每听卖美分，如此每天可卖出听当地牌子的果汁,听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益
