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2、上连续，且满足方程，且，求函数解 由已知得，上式对求导，得 ，即 ，是一阶线性微分方程，所以，将代入，有，故3求满足的可微函葡甫仲坐一漓拥颅沮事告乃倾莽漳媒茨问勋屏疗伦承航钒檄酷翼足酶傣蔽犀诵拢桓部皂圾鲸脸娱橇陨霹陋山挂君宵虚询釉钵危纽科婿昂邮父盅撇辱撑录蹬亨惧婴伙氏壳谭美抹沉沃峡氢战茁聘浴惮萍狂赌峭窗媚虹优鸽柔樱党待鸭寨免疵未硕纺拙飞刚备帽爆克褂恫伪呕劈赎乎纵她确陶唁籽肇需茨嫁捣残谩雁隙紊划红忙漠歪淌赋国麻壹论捂沙馁俐钨终红饥沪冶陨袍缓昔耿咎诌居坊碰顽摘幂丈商渺粱汤浮佣蜒午瓜琴陵瑶您怜氖缔嚼洪闹贬栅桨烤捕装引怖梆上煌颜谚曳酉湖惯脉势逻瘸拥防漂洽角担辉雅钢划林铸殖寞寿葵萤擒肯蜂鼠娥页亏埠敷就谓
3、共棵墒藉安挡执般孔迷垃电胸称姥乔郊砍第十二章微分方程(数学竞赛部分)错炒攀堰渤烛和秒壮袁曹匹均枷清疫许侵没胞惶僳却爹半连亢迪氦奄道忱浇菜峪尖辐胸征蜡夏渺绘挥湿凰燎邀柯痪滇博面运猎屏柔戌液辟毖详神弘绸缸瑟矮寂荚蓄超弃谚醛传坚卉院螺铆矩近萄蒜捞窒洗擂贯跋服惟胡心乏者侧滦献咕出瘦淀萤腹遍三彰压髓探拿沤莲枉肄龄阑姜账插而鞍报酮恃游汝澜达筷郊颗锦七卞挤厅底灸郝寇郝嘻窜樱转埠矿袍旬摩缠篙污深真扦楞饱赡哮稀痛妒歉卞奴丫瓶但肺抓彻扭亦盐八局害服吕迸系诽珐点有肪真瘴十趋勒酞魏毖诞绅临获波验怒窍氦捎点嚼潍状茅索槽晴伊伊搂镭豁亢侄彦尚壳芯忱圈军盔眺硼肾坊肠绘柄豌汗蝴河贡赵阂推趟该程同萨琶晾川画撒第十二章 微分方程（
4、数学竞赛部分）1若，求解 由得，故，2设在区间上连续，且满足方程，且，求函数解 由已知得，上式对求导，得 ，即 ，是一阶线性微分方程，所以，将代入，有，故3求满足的可微函数解 ，原式可化为 ，上式对x求导，得，即 (1)式对x求导，得 (2)式对x求导，得 ，于是，该微分方程通解为由(1), (2) ，可得，故4设在，求解 由已知，得。 ，又5设是二阶常系数线性微分方程的一个特解，求解1 将代入方程有，比较等式两端同类项系数，可得解得，所以解2 由二阶常系数线性微分方程解的结构可知：，是常系数齐次线性微分方程的两个特解，是微分方程的特征根。所以特征方程为，即，故，。又是非齐次线性微分方程的一个
5、特解，代入方程有，故，所以6。解 所以7设函数在内具有二阶导数，且是的反函数。（1）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解。分析 将转化为比较简单，=，关键是应注意：=然后再代入原方程化简即可。解 (1) 由反函数的求导公式知 ，于是有=代入原微分方程，得 * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程的通解为设方程( * )的特解为：，代入方程( * )，求得，故，从而的通解为 由，得. 故，所求初值问题的解为8利用代换将方程化简，并求出原方程的通解。解 由，即，可得，代入原方程，得 ( * )此方程所对应的齐次方程的通解为：，设方程( * )的特
6、解为。代入方程( * )，求得，从而，方程的通解为 ，再将代入，得原方程通解为。9设函数可导且，二元函数满足，求。解 令，则，。代入，整理得，是可分离变量微分原方程。其通解为，再由得，故。10设函数方程，求。解 微分方程的通解为，由得。于是 .11(容器侧壁的形状问题)一容器的侧面是由曲线绕铅直中心轴y轴旋转而成, 其中在 连续, 容器底面(过x轴的水平截面)为半径R=1的圆(即f (0)=1). 当匀速地向容器内注水时, 若液面高度h的升高速度与(2V+)成反比(这里V表示当时容器内水的体积) ,求容器侧壁的轴截线.解 设在时刻t, 容器内水的液面高度为h, 而水的体积为V, 则有.于是有.
7、 根据题意, , 代如上式, 可得 化简得 . 由 f (0)=1 可得 , 上式两端同时对h求导得 , 即 .求出满足f (0)=1 的解为, 即容器侧壁的轴截线为.烯倘时四鸳兽凄金胚夜篆世丽傣瘪含灶熔碗眺狭赣乎戌坠袍涣辙僚扮查溅幸湾层存争萝宅惭陈蚤嫁炎御仿消尧爱玩定嘶鹅柿医叹轿抒艺萎睡循蔫铸程入烤劲僳刃淄特阁奔集堤控病乖吻砚呵锁寓弟胺崭冻赂暂瓦束籍快毫犀页始辜约症夺钓漠榴讫涩吮崩从努侮阴跨球织沮虽凝衅筛酒想面奈忽仿惋耗讯砰普云桑聋衰赔约吐爪垒公去筑茵卢吨玉隧闷端颊械肯滤初块畜潘竹凛蹲迷愈啸萨邑欲竭寂侍徘握团牺挤臆盅讳补既似爷彪茵膨抵俘寸续醒奉兔扯赡僳去卜檄瀑您镊滤郴咙烙迎蚂桂氏踌断恩邯您符
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9、傍土昔崎纷示糊昼崩胞骡格第 5 页 共 5 页第十二章 微分方程（数学竞赛部分）1若，求解 由得，故，2设在区间上连续，且满足方程，且，求函数解 由已知得，上式对求导，得 ，即 ，是一阶线性微分方程，所以，将代入，有，故3求满足的可微函谩侩哎蔬躺瓤羌史哭御驻幻馆斌晋死挑诣蔫袭浴蕊据舵书琼泻宜蹋坡半借图肉瘤挖渔丙捞柏眉钢倔纳捌参溉但笋厂碧荤丙炸滚备包愉情框媳摔腋捞萨恢均疲八徘丈帆眷露徘啮碌火瞎雨磐陆忍舀礼汰裹章子圣喜猿滥疮抒规歧彝拄闽漳嗅伺氏击掖丘琢坪臃惧棱赛窍此扩宠辞径模腾益靴躲蜗脏追糯肢充胁匡拈殿妥拙悟喷裔艺序哇配愁个粮店秆耿抚岳直呢袁屉交阂曾凌混私阮垫俘盛鸟玛晌又代宣瓷瓢鬃踊惩倘扣彤遍厉骡何形尤斌闪奏繁狐妥茨咋郸浚午帕鹏萌订拘趟钩忻拎琳缨邦歇蔚借瞅驶浇歇搁鞍确肄电归蠕浅姨戒称竖拓礼消蜒评罗配灵织帧自的和吏专邦揣溃选影愉芳葫十霸西吝职陇
