《75 线性映射与向量空间的同构》由会员分享，可在线阅读，更多相关《75 线性映射与向量空间的同构（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.5线性映射和向量空间的同构本节内容需分两次课上完1. 线性映射的定义和基本性质如何建立两个集合之间的联系呢？映射。当然向量空间之间也可以通过映射相互联系，但 映射只是给出元素之间的对应，在向量空间中，向量之间还有线性关系，我们自然希望映射和 线性关系之间能“和谐”相处。由此有了线性映射的概念。定义1设V,W是域K上的两个向量空间，如果存在映射b : V T W使得(1) 保持加法运算：即对任意a,p g V,有b(a + p) =b(a) + b(p);(2) 保持纯量乘积：即对任意a g V和k g K,有b (ka) = kb (a).则称b是从V到W的线性映射.注1定义的第(1)条中
2、，b(a + p)中的“ + ”是向量空间V中的加法，而b(a) + b(p)中的“ + ” 是向量空间W中的加法.同理，定义中的第(2)条，b(ka)中的纯量乘积是域K与向量空间V的 纯量乘积，而kb (a)中的纯量乘积是域K与向量空间的纯量乘积.注2保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算，可以统一起来，用(3)来取代：(3) 对任意 a, p g V 和 k , k g K，有 b (k a+ k p) = k b (a) + k b (p).121212线性映射有下面基本性质.以下均设b : V T W是域K上向量空间V到W的线性映射.性质 1 b (0) = 0；证明：因为b(0) =b
3、(0 + 0) =b(0) +b(0),故b (0) = 0.性质 2 b (-a) = -b (a);证明：b(-a) =b(-1)a) = (-1)b(a) = -b(a).性质 3 b(ka + k a +. + k a ) = kb(a ) + k b(a ) + . + k b(a ).112 2n n 1122n nn = 2的情形即为上面注2，一般的n可以米用归纳法得到(略).，性质4按映射合成法则，线性映射合成还是线性映射，而且满足结合律.证明：设b : V T W, T : W T U都是线性映射，则Tb : V T U使得Tb(ka + k p) =t (kb (a) +
4、k b (p) = kTb(a) + k Tb(p)121212作为映射合成有结合律，所以作为线性映射合成仍然有结合律.例1设V = F2, W = F3分别是数域F上的2维和3维向量空间.令b : V T W : (a, b) 一 (2a + b, a,2 a 一 b) 则b是从V到W的线性映射.证明：因为V中每一个向量(a, b)在对应法则b下唯一地对应到W中的一个向量 (2a + b,a,2a -b)，所以 b 是映射.对于 V(a, b),(c, d) e V , Pk e K，有b (a, b) + (c, d) = b (a + c, b + d)=(2( a + c) + (b
5、+ d), a + c,2( a + c) - (b + d)=(2a + b, a,2 a - b) + (2c + d, c,2 c - d) =b (a, b) +b (c, d)b(k(a,b) -b(ka,kb) - (2ka + kb,ka,2ka -kb) - k(2a + b,a,2a -b) - kb(a,b)所以b是线性映射.口课堂练习：课后习题1.观察上面的例子.V中有标准基匕=(1,0),2 - (0,1).标准基在线性映射b下的象为：b(匕)-(2,1,2),b(s2) - (1,0,-1).考察V 中的任意向量a - (a,b) - a% + b2 在b 下的象为：
6、b(a)-b(a,b) - (2a + b,a,2a -b) - a(2,1,2) + b(1,0,-1) - ab(s ) + bb(s ) 12因此b是由b(s和b(s2)唯一确定.从上可看出，性质5如果V是有限维的，则b完全由它作用于基上的像所决定.即若dimV - n，设S - aa2，,a 为V的一个基，则b完全由b(ab(a2).,b(a )确定.证明：对于V中任意向量a，a可唯一地表示为a - ka +. + k a，于是， 1 1n nb(a) -b(ka +. + k a ) - kb(a ) + . + k b(a )1 1n n 11n n反过来，如果指定基向量的像，是否
7、一定存在一个线性映射，恰好将基向量对应到这些像 上？回答是肯定的.性质6设V和W是域K上的两个向量空间，dimV - n，S - aa?,.,a 为V的一个基，任意给定的P , P，,P e W( p可以重复)，则一定存在唯一的线性映射b : V T W，使得 12nib(a ) = P , i -1,2,n.证明：由于S - a1, a 2.,气为V的一个基，故对任意a e V，都存在唯组k , k，,k e K使得a- k a，于是令12 ni ii-1Wk pi i i-1b :V Ta - k ai-1则可验证，b : V T W是线性映射(是映射，且保持线性性质)，且使得b(a )
8、- P，i -1,2,.,n.由于线性映射完全由它作用在基上的像所决定，从而唯一性是自然的.口注3：实际上，性质5和性质6对于V是无限维的情形也是成立的，课本将性质5和性质6合与为定理1.(自行看看，实在不理解可暂放一边，这里是改造过的定理1)定理1设V和W是域K上的两个向量空间.如果S是V的基仃是W的任意一个非空子集测对S到T 的任意一个映射g : S t T都能唯一地扩充成为V到W的线性映射，即存在V到W的线性映射b : V t W使得 b(以)二g(以),V共S .反之，若b : V t W是V到W的线性映射，S是V的基，则b由它作用在S上的象完全 确定，即只需知道b作用在S上的象就能知
9、道b作用在每个向量上的象.那么线性映射是否能保持线性相关性呢？，性质7设b : V t W是域K上向量空间V到W的线性映射，V中向量组,a?,.,a线性相 关，则它们的象b(a1),b(气),.0(气)(在W中)也线性相关.反之不然.举反例说明反之不然.比如高维空间到低维空间的投射.当然，一定条件下，反之也成立.这 个条件就是b : V t W为单射，而且是充分必要条件.2. 线性映射的核与象一个线性映射b :VtW，如果又是单射,称之为单线性映射.如果又是满射，称之为满线 性映射.特别地，如果线性映射b : V t W是单射又是满射，称之为同构(映射)，并称两个向量空 间是同构的，记为V三W
10、，需要强调线性映射b时，可记b : V三W或VW.设b : V t W是线性映射，记Kerb = a g V Ib(a) = 0,称之为b 的核；Imb = b(a)|a g V,称之为b的象，有时寸也记Imb =b(V).注意，Kerb o V，Imb o W .关于线性映射的核与象，有如下两个结论：命题1 设b : V t W是线性映射，则Imb是W的子空间.如果S是V的一个基，则Imb * b(a)Ia g S * b(S) .特别地，如果a1,a?,a 是V 的基，贝UImb =v b(a.),b(a ),.,b(a ) .此外，b为满射o Imb = W .证明：因为0 = b(0)
11、 g Imb ,所以Imb壬0 .又b (a) + b (P) =b (a + P) g Imb , kb (a) =b (ka) g Imb ,所以Imb是W的子空间.任意P g V ,存在有限个a ,a，,a g S以及k ,k，,k g K使得12n12n0= k a ,所以 b (p) = n k b (a ) g .i ii ii=1i=1命题2设b : V t W是线性映射，则Kerb是V的子空间.且以下等价：1 Kerb = 0.2 b 为单射.3 b将V的任意线性无关向量组对应到线性无关向量组.4 b将V的基对应为W中的线性无关集.(这一点是对无限维空间说的，因为有限维的情形包
12、含在3中)证明：Kerb是V的子空间这一结论易证(直接按定义证明).1。2： (n)设b(a) =b(P)，贝Ub(a-P) = 0，于是a-P eKerb = 0，艮口a-P = 0，亦即 a = P . (u)设 ae Kerb，即 b (a) = 0 = b (0)，由 b 为单射可得，a = 0 ,故 Kerb = 0 .1。3： (n)设a ,a，,a是V的任意线性无关向量组，则b(a ),b(a ),.,b(a )为 12n12nW 中的向量组.设 kb(a ) + kb(a) + . + kb(a) = 0 ,则b(ka+ k a+. + k a) = 0，由于1122n n11
13、2 2n nKerb = 0，有ka + k a +. + k a = 0，而a ,a，,a线性无关，故k = k =. = k = 0，因此，112 2n n12n12nb (ajq (a2),.,b (a )线性无关.(u)设ae Kerb ,则b (a) = 0,若a 0 ,则a是V中线性无关向量组(只有单个向量)，则b (a)是W中的线性无关组，这与b (a) = 0矛盾，故a= 0 ,因此，Kerb = 0 .1。4: (n)设S是V的一个基.任取有限个向量b(ajb(aj.-q(a ) eb(S)，其中a ,a，,a e S，类似上面做法，可得b(a ),b(a ),.,b(a )
14、线性无关，因此，b (S)是W中的 12n12n线性无关集.(u)设ae Kerb ,由于S是V的一个基，故存在., a/ S ,以及k , k，,k e K 使得 a= k a + k a +. + k a，于是有12m112 2m m0 = b(a) = kb(a ) + k b(a ) + . + k b(a )1122m m但是b(S)是W中的线性无关集，b(a1),b(a2),.,b(a)为b (S)中有限个向量，必线性无关，从而k = k =. = k = 0，于是，a = ka + k a + k a = 0，因此，Kerb = 0 .12n112 2m m定理 1 设b : V r W 是线性映射，dimV = n，则 dim Ker b+ dim Imb = n.证明：由于核空间Ker b o V ,故设a,a”是Ker b的基，于是a，,a”可扩充为V的一个基a,.,a , P，,P (若Ker b = 0，则设P，,P为V的一个基).于是，由命题1, 1m 1nm1nImb =下证b(P ),.,b(P)线性无关：设kb(P ) + . + k b(P ) = 0,则1n-m11n-mn-mb(k P + + k P ) = 0
