数学与应用数学毕业论文关于斜幂等矩阵性质的探讨

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1、莆 田 学 院毕 业 论 文题 目关于斜幂等矩阵性质的探讨 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 班 级 数本054 指导教师 二00九年五月十日1傅小燕 关于斜幂等矩阵性质的探讨目 录摘要（1）0 引言（1）1 一些引理（2）2 单个斜幂等矩阵的性质（4）3 多个斜幂等矩阵的运算性质（6）4 斜幂等矩阵的等价条件（10）结束语（14）致谢（14）参考文献（14） 关于斜幂等矩阵性质的探讨关于斜幂等矩阵性质的探讨（数学与应用数学系 指导老师：晏瑜敏）摘要：本文主要是对斜幂等矩阵的某些性质进行探讨、研究.在与幂等矩阵性质的对照下，本文得出主要的相关结论有：单个斜幂等矩阵的性质，多个斜幂等矩阵

2、的运算性质以及矩阵为斜幂等矩阵的等价条件.通过这些斜幂等矩阵性质的研究，揭示了斜幂等矩阵与幂等矩阵在一般性质上的异同点，以及为进一步认识斜幂等矩阵奠定基础.关键词：斜幂等矩阵 幂等矩阵 秩 矩阵.Abstract: Some properties of the srew-idempotent matrix are discussed and studied in this paper.In comparison with the properties of idempotent matrix,the primary conclusions in this paper are the prope

3、rties of single srew-idempotent matrix, multiple srew-idempotent matrix and operation properties the equivalent condition of is srew-idempotent matrix. According to the study of these properties, the same and different points between the idempotent matrix and srew-idempotent matrix are revealed , as

4、 well as a better understanding of idempotent matrix inclined to lay the foundation.Keywords: srew-idempotent matrix idempotent matrix rank equivalent condition0 引言 表示数域上的阶矩阵构成的集合；符号分别表示矩阵的转置，逆，伴随矩阵，秩，迹；表示阶单位矩阵；表示阶单位矩阵；表示的列空间，即；表示的行空间，即；表示的维数；表示线性变换的值域,即；的维数称为的秩；表示的核，即；的维数称为的零度.设，若满足，则称矩阵是幂等矩阵；若满足，则

5、在参考文献1-2中称矩阵是斜幂等矩阵；若满足，则称矩阵是对合矩阵.幂等矩阵是一类很重要的矩阵，在矩阵理论中有着较广泛的应用，它的相关结论也已经被许多学者研究，见文献3-8.而关于斜幂等矩阵的文章却不多，在国内的相关文章只有参考文献1-2.在参考文献1中研究的是关于斜幂等矩阵的一些秩的等式，它是利用幂等矩阵秩的有关等式来刻画斜幂等矩阵的一些与秩有关的等式，从而给出了两个斜幂等矩阵的和、差以及乘积仍为斜幂等矩阵的等价条件.在文献2中研究的是用广义逆刻画斜幂等矩阵的性质，它是利用广义Schur补的最小秩给出斜幂等矩阵的一些与广义逆有关的性质.文献3-8中研究的都是关于幂等矩阵的一般性质，这就启发我们

6、在幂等矩阵这些性质的对照下研究斜幂等矩阵的一般性质.下面先给出几个引理：1 一些引理引理1.1（见文献9，第285题） 设是阶方阵，则.引理1.2（见文献10，第304页） 设是维线性空间的线性变换，则的一组基的原像及的一组基合起来是的一组基.由此还有的秩+的零度=.引理1.3 设矩阵是斜幂等矩阵，则存在可逆矩阵，使得，其中.证明 设维线性空间的一组基，定义线性变换如下：由知，任意，则存在一个，使得，那么取任意,则，即.因此.又由引理2可得.在中取基，在中取基，则是的一组基，且有即在基下的矩阵为.故存在一个可逆矩阵，使得，即.则结论得证.引理1.4（见文献6，性质7） 设是秩为的幂等矩阵，则，

7、其中，是秩为的阶矩阵，是秩为的阶矩阵.引理1.5（见文献6，性质5） 设是幂等矩阵，则的秩等于的迹，即.引理1.6（见文献3，推论3.2） 设为阶矩阵，且，则可写成两个对称矩阵之积.引理1.7（见文献6，性质1） 设是阶幂等矩阵，对任意实数，则是可逆矩阵.引理1.8（见文献5，性质7 3，定理5 4，定理2 4，定理8） 设均为幂等矩阵，则有以下结果：1） 为幂等矩阵的充分必要条件是；2） 如果，那么；3） 若，则存在阶可逆矩阵，使得与都为对角矩阵，且主对角上的元素为0或1；4） 若，则可逆，且.引理1.9（见文献8，性质9 3，定理1 7 8，性质7） 设是数域上的的秩为矩阵，则下列命题彼此

8、等价：1）是幂等矩阵；2） 设，其中为阶单位矩阵，为维非零列向量，为的转置，则；3） 方阵为对合矩阵；4） ，其中是的值空间中任一向量；5） 存在可逆矩阵，使得；6）；7）；8）；引理1.10 设是数域上阶矩阵，则有1）；2）.证明 1）设且是的一组基，则将其扩充为一组基；扩充为的一组基.则有于是 （1.10.1）往证 线性无关.设 （1.10.2）再令 （1.10.3）由（1.10.2）式有 （1.10.4）则由（1.10.3）（1.10.4）两式知：，从而，而是的一组基，故 （1.10.5）将（1.10.5）式代人（1.10.4）式，可得 （1.10.6）但线性无关，由（1.10.6）式可

9、得 （1.10.7）将（1.10.7）式代入（1.10.4）式，得.再由（1.10.3）式，有由线性无关可得 （1.10.8）由（1.10.7）（1.10.8）知，线性无关再由（1.10.1）式知故结论得证同理可证2）成立.2 单个斜幂等矩阵的性质性质2.1 设是斜幂等矩阵，则也是斜幂等矩阵.证明 由于，则又由引理1知，则故结论得证.性质2.2 设是斜幂等矩阵，则的特征值为.证明 设是矩阵的特征值，为特征值所对应的特征向量，则有.又因为，所以，从而有.故，则.性质2.3 设是斜幂等矩阵，则与相似的矩阵也是斜幂等矩阵.证明 设矩阵与相似，则存在可逆矩阵，使得,于是所以是斜幂等矩阵.根据引理4，我

10、们可以证得斜幂等矩阵也有类似的性质，即性质2.4 设是秩为的斜幂等矩阵，则存在秩为的阶矩阵和秩为的阶矩阵，使得，且.证明 由引理3知，存在可逆矩阵，使得,即令，,则，且即结论得证.由引理5我们知道幂等矩阵的秩等于它的迹，那么斜幂等矩阵的秩和它的迹有什么关系呢？性质2.5 设是斜幂等矩阵，则的秩等于的迹的相反数，即.证明 设的秩为，则由引理3知与相似，而相似矩阵具有相同的特征值.设是的全部特征值，为的全部特征值，则所以，即.故结论得证.引理6给出的是，幂等矩阵可以写成两个对称矩阵的乘积，对照此性质可以得出斜幂等矩阵也有类似的性质：性质2.6 设是斜幂等矩阵，且的秩为，则存在对称矩阵，使得，即任一

11、斜幂等矩阵必可分解为两个对称矩阵的乘积.证明 由引理3知，存在可逆矩阵，使得，即令.则，即它们是对称矩阵，且.在引理7中我们知道幂等矩阵与数量矩阵的和是可逆矩阵，但斜幂等矩阵却与数量矩阵的差是可逆矩阵.如下：性质2.7 设是斜幂等矩阵，对，则是可逆矩阵，且.证明 由题设知，则有从而有是可逆矩阵，且.由此可以得出以下结论：推论2.1 设是斜幂等矩阵，则可逆，且.3 多个斜幂等矩阵的运算性质性质3.1 设是斜幂等矩阵，且两两可交换.则当为奇数时，也是斜幂等矩阵；当为偶数时，是幂等矩阵.证明 由于是斜幂等矩阵，且两两可交换，则所以当为奇数时，；当为偶数时，.即结论成立.推论3.1 设是斜幂等矩阵，.

12、则当为奇数时，是斜幂等矩阵；当为偶数时，是幂等矩阵.引理8中研究的是当两个矩阵都为幂等矩阵时，它们所具有的性质.而当两个矩阵都为斜幂等矩阵时，它们也具有类似的性质.即性质3.2 设均为斜幂等矩阵，则有以下结果：1）为斜幂等矩阵的充分必要条件是；2）若为斜幂等矩阵，则；3）若，则；4）若，则存在阶可逆矩阵，使得与都为对角矩阵，且主对角上的元素为0或；5）若，对任意实数且，则或；6）若，则可逆，且.证明 1）“必要性”由于，且，则故，即.又所以，且，即.“充分性” 由于，且，则即结论得证.2）由于，且，则 则有 （3.2.1）对（3.2.1）式左乘，有，即.对（3.2.1）式右乘，有，即.从而有.

13、3)由于，且，则即结论得证.4）设的秩为，则由引理3知，存在可逆矩阵，使得 （3.2.2）令，则由得由此得，其中为阶子块. （3.2.3）但，故因此.于是由引理3知，存在可逆矩阵与，使得 （3.2.4） （3.2.5）令,则由及（3.2.2）（3.2.3）（3.2.4）（3.2.5）式可得即结论得证.5）由题设知,且,则有两边同乘以得从而有或，即或.6）由题设知道，,则有从而由可逆，且.除了以上的一些关于斜幂等矩阵的性质外，我们在对照引理9的基础上研究斜幂等矩阵的等价条件，即4 斜幂等矩阵的等价条件定理 设的秩为，则下列命题彼此等价：1）是斜幂等矩阵；2）设，其中为维非零列向量，则；3）方阵为对合矩阵；4），其中是的值空间中任一向量；5）存在可逆矩阵，使得；6）存在可逆矩阵，使得；7）；8）；9）；10）；11）.证明 具体证明思路；.现证明如