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1、名校精品资料数学专题能力训练23不等式选讲能力突破训练1.设a0,|x-1|,|y-2|,求证:|2x+y-4|f(x)在xR上有解,求实数t的取值范围.3.设函数f(x)=+|x-a|(a0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范围.4.已知关于x的不等式m-|x-2|1,其解集为0,4.(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.6.设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若
2、A=R,求a的取值范围.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,aR.(1)当a=3时,解不等式f(x)4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.思维提升训练8.已知函数f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,aR.(1)当a=0时,若g(x)|x-1|+b对任意x(0,+)恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)-;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)a成立,求实数a的取值范围.10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(
3、x)3;(2)如果xR,f(x)2,求a的取值范围.参考答案专题能力训练23不等式选讲(选修45)能力突破训练1.证明因为|x-1|,|y-2|,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|2=a.2.解(1)原不等式等价于得-x-3或-3x1或1f(x)在xR上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,t2+3tf(x)min=4t2+3t-40t1.3.(1)证明由a0,有f(x)=+|x-a|+a2.故f(x)2.(2)解f(3)=+|3-a|.当a3时,f(3)=a+,由f(3)5,得3a当0a3时,f(3)=6-a+,由f(3)5,得a3.综上,a的取值
4、范围是4.解(1)不等式m-|x-2|1可化为|x-2|m-1,1-mx-2m-1,即3-mxm+1.其解集为0,4,m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a2+b2,当且仅当a=b=时取等号,a2+b2的最小值为(方法二:消元法求二次函数的最值)a+b=3,b=3-a,a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,a2+b2的最小值为5.(1)解f(x)=当x-时,由f(x)2得-2x-1;当-x时,f(x)2;当x时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集M=x|
5、-1x1.(2)证明由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.6.解(1)当x时,2x-1+x+32x+4,解得x2.当-3x时,1-2x+x+32x+4,解得-3-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+32x+4,即|2x-a|x+1,得xa+1或x,所以a+1-2或a+1,得a-2.综上,a的取值范围为a-2.7.解(1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|=如图,由于直线y=4和函数f(x)的图象交于点(0,4),(2,4),故不等式f(x)4的
6、解集为(0,2).(2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.由于|2x-1|+|x-a|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|,当且仅当(2x-1)(x-a)0时取等号,故有(2x-1)(x-a)0.当a=时,可得x=,故x的取值范围为;当a时,可得xa,故x的取值范围为;当a0),g(x)|x-1|+b-b|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|(x-1)-(x-2)|=1,当且仅当1x2时等号成立.故实数b的取值范围是-1,+).(2)当a=1时,g(x)=当0x2-2=0;当x1时,g(x)0,当且仅当x=1时等号成立;故当x=1时,函数y
7、=g(x)取得最小值0.9.解(1)a=2,f(x)=|x-3|-|x-2|=f(x)-等价于解得x3或x3,不等式的解集为(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,若存在实数x,使得不等式f(x)a成立,则|a-3|a,解得a实数a的取值范围是10.解(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,f(x)=作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.由图象可知,不等式f(x)3的解集为(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;若a1,则f(x)=f(x)的最小值为a-1.故对于xR,f(x)2的充要条件是|a-1|2,a的取值范围是(-,-13,+).
