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1、 5.2统计量及其分布上一节中知道子样是母体的反映，但是子样所含作息不能直接用于解决我们所要研究的 问题，而需要把子样所含的信息进行数学上的加工使其浓缩起来，从而解决我们的问题。这 在数理统计学中往往通过构造一个合适的依赖于子样的函数一 统计量一来达到的。定义5.1 一个统计量是子样的一个函数，如果子样容量为n，它也就是n个随机变量 的函数，并且要求这个函数是不依赖于任何未知参数的随机变量。统计量的分布称为抽样分 布。按照这一定义，随机变量门=Z &i是一个统计量，前一节中提到的经验分布函数F(x) i=1也是一个统计量，但当、。2未知时，i =i *就不是一个统计量，这是& |， n1 b1
2、E 2，E n是一个子样，必须指出的是，尽管一个统计量不依赖于任何未知参数，但 是它的分布可能是依赖于未知参数的。下面我们定义一些常用的统计量。定义5.2设& 1，E 2，&是由母体&取出的容量为n的子样，统计量W & = 4=一(5.3)称做子样均值；统计量七=1 &-&2=1 乙 2E 2(5.4)n n 1，n .，称做子样的方差；统计量& k 旦工(5.5)n i称做子样的k阶矩；统计量m =1 / (E -E)k(5.6)k ni =1称做子样的k阶中心矩；统计量若(X，x2，x孔)是子样E 1，E 2，E n的一组观测值，则；=1 乙(5.7)i=1和s 2=1 3 -X）2 =1
3、 x2- x 2（5.8）n . i in . i.S 2 .分别为子样均值方差Sn的观测值。统计量是子样的函数，它的抽样分布函数可以从子样的联合分布函数推出，设&1,& 2，& n和气，门2，门m是取自正态母体N（0,1）的容量分别为n和m的两 个子样，那么“顶X 2= &i , t=、，F=十一i=1.X 2/m & 2i = 1都是统计量。根据前面 3.4, 它们的抽样分布分别为X 2（n）分布、t（n）分布、F（m，n） 分布。这些抽样分布今后在分设检验和区间估计中不止一次地要用到。S 2 .由于子样均值孕与子样方差Sn这两个统计量在数理统计学中的重要作用，我们将详 细地推导它们的分布
4、，先给出它们不依赖于母体分布具体形式的两个性质。定理5.1设母体七 的分布函数F（x）具有二阶矩，即E七=H 8。若& 1， E 2，七n是取自这一母体的一个子样，则子样均值；的数学期望与方差分别为E = u（5.9）（5.10）1 k，k=i3, 4都若假设母体的原点矩uk = E& k和中心矩U k = E7 ） 存在，则子样方差的数学期望和方差依次为E（S 2）n /n-1-n 2U - 32_A2n3（5.10a）2（u 22）4+n2并且子样均值与子样方差的协方差为n1Cov（ & , s3=nr * 2一个随机向量&=（ & 1, E 2 ,.,& n）经过一个线性变换得到一个随机
5、向量门,=（气，门2，叫,., q），这两个随机向量的数学期望和相关矩陈之间的关系由下列定理给出。定理5.2设& = （ &| , E ，E ），门=3，门，门，门）为 12n123n两个随机向量，且设门=A& ，其中A=（七）为一个nx n阶方阵，则有E & =A （E& ）D门=A（d& ） A（5.11）b 2定理5.3设母体&服从正态分布N （ H，）。（证明略）n现在我们来推导子样方差的分布。定理5.4设& 1，& 2，& n是正态母体N （ H，号）的一个子样，其子样 均值与子样方差分别为& = W &和 S2 =1 寸（&.&）2*，和 n=n则（1）&与Sn相互独立；（2） S
6、服从自由度为n-1的* 分布。（证明略） nb 2系1设& 1，& 2，& n为取自正态母体n（日，b2）的一个子样，&与sn 分别为子样均值与子样方差，则（&-以和S（5.18）n是自由度为n-1的t一分布。（证明略）系2 设& 1，& 2，& n和门，门2，七，门n分别是从正态母体N （日， b 12 ）和N （日，b22 ）抽取的两个子样，且& 1，& 2，& n 1和门，n2，七，S2 才 仁一耳）2 S2 1 萝 m 利）2门n2相互独立，并设S1n1= n 或 与S2n2 = n2 W v分别为这两个子样的1 i=1i=1子样方差。如 与11孙i分别为这两个子样的均值，于是n2 i=1nS21 1nF= nst .2 2n2(n -1)。222(n -1)。212(5.21)服从F（ n -!）分布。为取自正态母体N为取自正态母体N（ 1，。2）的一个子样。2 ）的子样，并且这两个子样相互独立，气，门2，则随机变(?-H)-(日日)（5.22） 12_s !+1气n n2服从自由度n 1 + n-2的J分布，其中&和门2分别为这两个子样的子样均值n S 22 -n2 (证明略)S二分别为这两个子样的子样方差，且 n 2S 2n 1 S 12n +=1 n + n - 2
