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1、金太阳新课标资源网 第一章 解三角形 单元测试1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c，b，B120，则a等于()A.B2C.D.答案D解析在ABC中，由正弦定理，得sinC，又B120，C为锐角，C30，A30，ac.2在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A，a，b1，则c()A1B2C.1 D.答案B解析由正弦定理，得，sinB，而A，ab，则AB.B，从而C，c2a2b2，c2.3ABC的三边分别为2m3，m2
2、2m，m23m3(m0)，则最大内角度数为()A150B120C90D135答案B解析解法一：m0，m23m32m3，m23m3m22m.故边m23m3对的角为最大角，由余弦定理，cos，120.解法二：特值法取m1，则三边长为5,3,7cos，120.4在ABC中，关于x的方程(1x2)sinA2xsinB(1x2)sinC0有两个不等的实数根，则A为()A锐角 B直角C钝角 D不存在答案A解析把已知方程整理得(sinAsinC)x22sinBx(sinAsinC)04sin2B4(sinAsinC)(sinAsinC)0，即sin2Bsin2Csin2A0.b2c2a20，cosA0，可知
3、A为锐角5在ABC中，A45，b4，c，那么cosB()A. B C. D答案D解析BC2AC2AB22ACABcosA1628cos4510.BC，cosB.6在ABC中，a2b2abc22SABC，则ABC一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案B解析由a2b2abc2得：cosC，C60，又2SABCa2b2ab，2absin60a2b2ab，得2a22b25ab0，即a2b或b2a.当a2b时，代入a2b2abc2得a2b2c2；当b2a时，代入a2b2abc2得b2a2c2.故ABC为直角三角形7在ABC中，A60，b1，SABC，则的值为()A. B.
4、C. D2答案C解析由SABCbcsinA，得bc4，c4.a.8等腰ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是()A30或150 B15或75C30 D15答案A解析由题意：sinBcosB.两边平方得sin2B，设顶角为A，则A1802B.sinAsin(1802B)sin2B，A30或150.9在ABC中，若|2，|5，5，则SABC()A.B. C.D5答案A解析|cosA10cosA5，cosA，sinA，SABC|sinA.10关于x的方程x2xcosAcosBcos20有一个根为1，则此三角形为()A等腰三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案A解析由题意知，1cos
5、AcosBcos20.sin2cosAcosB，cosAcosB.1cos(AB)2cosAcosB，1cosAcosBsinAsinB2cosAcosB，cos(AB)1，A，B是三角形内角，AB0即AB.11若ABC的三边为a、b、c，它的面积为，那么内角C等于()A30B45C60D90答案A解析absinC，sinCcosCtanC，又0C180.C30.12如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1
6、是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形答案D解析由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形，由得，那么，A2B2C2，这与三角形内角和为180相矛盾，故假设不成立，即A2B2C2是钝角三角形，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13三角形一边长为14，它对的角为60，另两边之比为85，则此三角形面积为_答案40解析设另两边长为8x和5x，则cos60得x2，另两边长为16和10，此三角形面积为S6010sin6040.14已知ABC外接圆半径是2 cm，A60，则BC边长为_答案2
7、cm解析2R，BC2RsinA4sin602cm.15在四边形ABCD中，AB6，BD3，BC4，ADBCBD，A60，则BCD面积为_答案6解析，sinADB1，ADB90，SBCDBDBC6.16从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60；从电视塔的西偏南30的B处，测得塔顶仰角为45，A，B间距离是35m，则此电视塔的高度是_m.答案5解析如图所示，塔高为OC，则OAC60，AOB18030150，CBO45，AB35，设电视塔高度为hm，则OAh，OBh，在AOB中由余弦定理可得AB2OA2OB22OAOBcosAOB，即352(h)h22hh()解得h5.三、解答题(本大题共6个
8、小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若tanA3，cosC.(1)求角B的大小；(2)若c4，求ABC面积解析(1)cosC，sinC，tanC2.tanBtan(AC)1，又0B，B.(2)由正弦定理，得，b.B，AC.sinAsin(C)sincosCcossinC().SABCbcsinA46.18(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状解析(1)由已知
9、，根据正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，得a2b2c22bccosA，故cosA，A120.(2)由a2b2c2bc，得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又sinBsinC1，故sinBsinC.因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形19(本小题满分12分)如图，某海轮以30海里/时的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再航行80分钟到达C点，求P、C间的距离解析AB3020，BC3040在ABP中，A120，ABP30，APB30
10、BPsinBAPsin12020在RtBCP中，PC200.P、C间的距离为200海里20(本小题满分12分)已知A、B满足条件bbcosAaacosB，若A、B是ABC的内角，且A的对边是a，B的对边是b.试确定ABC的形状解析bbcosAaacosB，即.在ABC中，由余弦定理得，cosA，cosB，1cosA1cosB，化简得(abc)(abc)(abc)(bac)abc，abc0，abcbac，ab.故ABC为等腰三角形21(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)当a2,2sinAsinC，求b及c的长解析(1)
11、cos2C12sin2C，0C，sinC.(2)当a2,2sinAsinC时，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1及0C0)，解得b或2，或22(本小题满分14分)设函数f(x)cos2cos2，xR.(1)求f(x)的值域；(2)记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)1，b1，c，求a的值解析(1)f(x)cosxcossinxsincosx1cosxsinxcosx1cosxsinx1sin1，因此f(x)的值域为0,2(2)由f(B)1得sin11，即sin0.又因为0B，故B.解法一：由余弦定理b2a2c22acosB，得a23a20，解得a1或a2.解法二：由正弦定理，得sinC，所以C或C.当C时，A，从而a2；当C时，A，又B，从而ab1.故a的值为1或2.第 1 页 共 9 页 金太阳新课标资源网
