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1、第七章 空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算知识点、重点及难点1. 知识点：(1) 向量的概念向量：既有大小，又有方向的量(又称矢量).P向量的表示：以A为起点，B为终点的有向线段AB，或。.数学上只研究与起点无 关的自由向量.向量的模：向量的大小.向量a AB的模记作饵AB .B单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.记作e .w零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的.负向量：与向量a的模相同而方向相反的向量，即一a. p ww w向量相等：a与b大小相等，方向相同，记作a = b -pwp p p wp w向量平行：a与b方向相同或相
2、反，记作a /b .a与b平行，又称a与b共线.(2) 向量的线性运算1. 向量的加法：平行四边形法则，三角形法则w w w w 运算规律：交换律a + b=b+aw w w w w w 结合彳聿(a + b) + c = a + (b + c)w w p w 向量的减法：a - b = a + (b)2. 向量与数的乘法：实数人与向量?的乘积是一个向量，记作入片.其大小为0句=四|pl:当 0时， a与月反向；当=0方向当备0时，&w与月同向 时，a = 0，方向是任意的.P、八 w / C、w运算规律：结合律 入(Ma) = Ma) = (Oap w. .w。zp w w. .p 分配律(
3、人 + M)a = a + Ma; 人(a + b) = a + Mb .pea表示与a同方向的单位向量.P c p pp p若a。0则a/b o存在唯一的实数，使b=a（3）空间直角坐标系：在空间取定一点。（原点）和过原点三个两两垂直的数轴，构成一 个空间直角坐标系.三个坐标轴的正向符合右手法则，即以右手握住兀z轴，当右手的四个手指从正向X轴以一角度转向J轴时，大拇指 2的指向就是z轴的正向.三个坐标面xOy面、yOz面、zOx面将空 间分成八个卦限，含有x轴、轴、z轴。正半轴的卦限叫第一卦限, 其他第二、第三、第四卦限在xOy面上方，按逆时针方向确定，第五至第八卦限在xOy面下方，第一卦限
4、之下是第五卦限，按逆时针 方向确定其他卦限。这八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、 VI、VII、VIII 表示。设点M在空间直角坐标系的坐标为（X, y, z）则向量P p p P . .,、 一， 、.r = OM = xi + yj + zk 或表示为（X, y,z），MX, y,z）既是向量OM的坐标，也是M的坐标。向量的坐标运算：设M (x y z ),M (x ,y ,z )则向量M M1111222212pP向量a = (a ,a ,a ),b = (b ,b ,b )则X y zX y zp pa + b = (a + b , a + b , a + b )X x y
5、 y z zP Pa - b = (a - b , a - b , a - b )pPpPppbbb若 a。0 则 a / b o 唯一3e R, b =a o = -y = a a a(5)向量的模、方向角、投影i)向量的模 Pip 若向量 r = (x, y, z )则 |r| = yx 2 + y2 + z2若 A(x , y ,z ),B(x , y , z )则 AB = ：(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2 111222212121ii)方向角与方向余弦 p pp p作OA = a, OB = b ,称 = /AOB,(0 V中V兀)为向量a与b的夹
6、角，记作pppp方向角：尹=(%X) 0，r与三个坐标轴的夹角以,P,Y称为向量r的方向角。cos ax= -p =rx；x 2 + y 2 + z 2cos p =丰= rzcos y = -p =r.：x 2 + y 2 + z 2(cos以,cosP ,cos y) = (p,丰,条)=辛=p r r r r rCOS2 a + COS2 P + COS2 y = 1p ,p)向量的投影p_ I p p 、 p向量a在u轴上的投影：P. =|a|cos(a,u)或记作(r)p,R,R aa = (a ,a ,a )在x,y,z轴上的投影：P =|acosa =同卡=a x y zrjxa
7、 x,Q,p aP. = |a| cos p =|a-p- = app aP z = |a cosy = |a| -p- = app p p(a + b) = (a) + (b)(人 )=人(a)uu2. 重点：向量的概念，向量的线性运算，向量的模，方向角，投影。3. 难点：向量的线性运算的坐标表示，向量的方向角，投影。二. 主要题型1. 与向量的概念，线性运算有关的习题。2. 综合题型。三. 典型例题解析例1设已知两点、(4,巨,1)和M2(3,0,2)，计算向量MM2的模，方向余弦和方向角。解 M1M 2 = J(3 - 4)2 + (0 - 扼)2 + (2 -1)2 = 2M 1 M
8、2 = (3 - 4,0 -巨,2 -1) = (T,-)方向弦为cos a=-,cos P =2*21,cosY =2 223 兀方向角分别为以=兀，P = 4兀，Y = yPP例2设向量,的模是4,它与轴的夹角是60。，求r在u轴上的投影。解已知 |月=4， P. = | - cos。= 4 - cos 60。= 4 x 2 = 2四同步自测练习题1. 向量与x轴和y轴夹角相等，而与z轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量的方向角 以，P，Y各为多少？参考答案与提示1以=三 P=Ey= 或a = 3兀P = 兀y = 3兀8，8，4一 8，8，4第二节数量积向量积混合积一. 知识点、重点、及
9、难点1. 知识点：ppipP八八 pP _i 定义：i b = Id，b cos, = (a,b)，运算结果是一数。p p p pii性质：交换律：a b = b ap, P、p_ p p, F p结合律：(a + b) * c = a * c + b * c数乘律：(、片)* b =(a * b),入为实数。=p 2pPiii 坐标表示：a = (a ,a ,a ), b = (b ,b ,b )x y zx y zp pa - b = a b + a b + a bxx yy zzcos。= cos(, b)=a b + a b + a bx xy yz z a 2 + a 2 + a 2
10、 ，b 2 + b 2 + b 2 x y z Y x y zp p p pa b o a b = 0 o a b + a b + a b = 0xx yy zz(2)向量积：p P pR p|RPP PP PPi定义：。x b = c ,|c| = |a|b|sinU, = (a, b) ；c的方向垂直于a与b决定的平面，cP P的指向按右手规则，从a转向b来确定。PP PPii性质：负交换律b x a = a x bP P P P P P P分配律 (a + b) x c = a x c + b x c数乘律 (a) x b = a x (、b) = (a x b),入为实数。Sx a=0
11、? b o P b= 0P P P PP Paxb等于a与b为邻边的平行四边形的面积，或者说以a与bP Pa / b(3)混合积|pi定义：aPii性质：a=(a,a , a)，xyzPPpijk=aaaxyzbbbxyz)P 0Paa xbiii坐标表示：aP bP bPPx b) c结果为一个数。四0x b) c等于以P=(a b 一 a b )i + (a byaa=- = -b by zPP一 a b ) j + (a b 一 a b )kxzxy yxP P P一a b ,c为棱的平行六面体的体积。PPx b) c = 0aP=为邻边的三角形的面积的2倍。2. 重点：向量的数量积、向
12、量积、混合积的定义与应用。3. 难点：数量积、向量积、混合积的应用。二. 主要题型1. 与向量代数运算(数量积、向量积、混合积)有关习题。2. 综合题型。三. 典型例题解析解题注意事项：区分哪些是数量，哪些是向量；区分各个运算的规律、特征；区分向量 平行、垂直、共面的充要条件。ppp pp p例 1. (1)设a = (3,6,1), b = (2,4, k)，若 a 上 b，则k =()，若 a / b，则 k 二()。pppppppp(2,一3,1), b = (1,2,3), c = (1,2,7), d 上 a , d 上 b , c -d =1,pp plp pa x b = 6，则
13、 a , b =()则 d =()(3)份=3，b = 4，I p p p p | p w贝u a + b) x (b + c)(c + a)=(p p p p解：(1) a 1 b o a b = n 3 x 2 + 6 x 4 + k = 3 + k = n k = 3。p？o 月 x /p=pn 3 = 6 = 1 k = 2 a / b o a x b = n = = n k =2 4 k 3 p(2) 设d = 3, y,乙)则由条件可得2 尤 一 3 y + z = 尤=7 p尤-2 y + 3z = ny = 5 n d = (7,5,1)、x + 2 y _ 7 z = 、z = 1P p ?儿？ p p 或者：由 d 1 a，d 1 b 知d / (a x b) ppp、i j kp p而 a x b = 2 31 = (7,5,1)1 2 3pd =人(7,5,1)pp又由 c d = 1知从7,5,1) (1,2,-7) = 1人=1 n 人=1pd = (7,5,1)片Xb = aib|sin。npba x b63X4J3p p 1 ppn cos0 = - n a - b = |a|b cos6 = 673rp p p p 1 p p rp p p p p p ip p(4) (a + b) x (b + c)(c + a) = a X b) +
