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1、高中数学竞赛讲义（五）数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，n，. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列an的一般形式通常记作a1, a2, a3,，an或a1, a2, a3,，an。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若Sn表示an的前n项和，则S1=a1, 当n1时，an=Sn-Sn-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则an称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的
2、性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则an称为等比数列，q叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=
3、p+q，则aman=apaq。定义4 极限，给定数列an和实数A，若对任意的0，存在M，对任意的nM(nN),都有|an-A|，则称A为n+时数列an的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比q满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一
4、切nk的自然数n都成立时（kn0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为,:(1)若，则xn=c1an-1+c2n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若=，则xn=(c1n+c2) n-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。二、方法与例题1不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊猜想数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的
5、通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，。【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例2 已知数列an满足a1=,a1+a2+an=n2an, n1，求通项an.【解】 因为a1=,又a1+a2=22a2,所以a2=，a3=,猜想(n1).证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当nk时猜想成立。当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,，所以=k(k+2)ak+1, 即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由数学归纳法可
6、得猜想成立，所以例3 设0a1.【证明】 证明更强的结论：1an1+a.1)当n=1时，1a1=1+a，式成立；2)假设n=k时，式成立，即1an.又由an+1=5an+移项、平方得 当n2时，把式中的n换成n-1得，即 因为an-1an+1，所以式和式说明an-1, an+1是方程x2-10anx+-1=0的两个不等根。由韦达定理得an+1+ an-1=10an(n2).再由a1=0, a2=1及式可知，当nN+时，an都是整数。3数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=(n=1, 2, )，求S99=a1+a2+a99.【解】 因为an+a100-n
7、=+=，所以S99=例7 求和：+【解】 一般地，所以Sn=例8 已知数列an满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列的前n项和，求证：Sn2。【证明】 由递推公式可知，数列an前几项为1，1，2，3，5，8，13。因为， 所以。 由-得，所以。又因为Sn-20,所以Sn, 所以，所以Sn0，由可知对任意nN+，0且,所以是首项为，公比为2的等比数列。所以，所以，解得。注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。三、基础训练题1 数列xn满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为xn前n项和，当n2时，xn=_.2. 数列xn满足x1=，xn+1=,则xn的通项xn
8、=_.3. 数列xn满足x1=1，xn=+2n-1(n2)，则xn的通项xn=_.4. 等差数列an满足3a8=5a13，且a10, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_.5. 等比数列an前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_.6. 数列xn满足xn+1=xn-xn-1(n2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+ xn，则S100=_.7. 数列an中，Sn=a1+a2+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+|a10|=_.8. 若，并且x1+x2+ xn=8，则x1=_.9. 等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则=_.10. 若n!=
9、n(n-1)21, 则=_.11若an是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2log2a3+ log2a2log2a5+ log2a2log2a6+ log2a5log2a6=36，求的通项。12已知数列an是公差不为零的等差数列，数列是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列bn的前n项和Sn。四、高考水平训练题1已知函数f(x)=，若数列an满足a1=，an+1=f(an)(nN+)，则a2006=_.2已知数列an满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，则an的通项an=.3. 若
10、an=n2+, 且an是递增数列，则实数的取值范围是_.4. 设正项等比数列an的首项a1=, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_.5. 已知，则a的取值范围是_.6数列an满足an+1=3an+n(n N+) ，存在_个a1值，使an成等差数列；存在_个a1值，使an成等比数列。7已知(n N+)，则在数列an的前50项中，最大项与最小项分别是_.8有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为_.9. 设an是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等
11、差中项等于Sn与2的等比中项，则an=_.10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有_项是在100与1000之间的整数.11已知数列an中，an0，求证：数列an成等差数列的充要条件是（n2）恒成立。12已知数列an和bn中有an=an-1bn, bn=(n2), 当a1=p, b1=q(p0, q0)且p+q=1时，（1）求证：an0, bn0且an+bn=1（nN）；（2）求证：an+1=；（3）求数列13是否存在常数a, b, c，使题设等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切自然数n都成立？证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3
