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1、9.9.3 圆锥曲线与其他知识的交汇问题考点一 圆锥曲线与数列交汇 【典例】(2020重庆模拟)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.(1)求椭圆的方程.(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A,B,过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C,D,与l3:x=4交于P,求证:直线PA,PF,PB的斜率kPA,kPF,kPB成等差数列.【解题导思】序号题目拆解(1)求椭圆方程根据离心率以及直线与圆的位置关系列出a,b的方程组求解(2)求A、B两点坐标关系研究直线和圆锥曲线的基本过程联立方程组,根与系数的关系求点P的坐标联立两直线方程求解
2、求直线斜率,验证所证利用两点坐标表示斜率,化所证为等式关系进行验证【解析】(1)由题意知e=,所以=,即a2=b2,又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2与直线x-y+=0相切,所以圆心到直线的距离d=b=,所以a2=4,b2=3,故椭圆的方程为+=1.(2)当直线l1的斜率不存在时,A(1,),B(1,-),C(2,0),D(-2,0),F(1,0),P(4,0).所以kPA=-,kPB=,kPF=0,所以2kPF=kPA+kPB.当直线l1的斜率存在时,设直线l1的方程为y=k,由 得x2-8k2x+4k2-12=0.设点A(x1,y1),B,利用根与系数的关系得x
3、1+x2=,x1x2=,由题意知直线l2的斜率为-,则直线l2的方程为y=-,令x=4,得P点的坐标,kPA+kPB=+=+=k+=k+=k+=-=2kPF,即kPA+kPB=2kPF,综上得,kPA,kPF,kPB成等差数列.圆锥曲线与数列的结合圆锥曲线与数列的结合点比较多,如圆锥曲线中的相关线段长度或参数成等差、等比数列等,解决此类问题的关键是利用数列的知识,将条件等价转化为相关数量之间的关系即可,其实质就是相关的数量之间的等式关系的一种外在表现.(2019成都模拟)设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2
4、的平行线交DF2于点E.(1)求+的值.(2)设点E的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于M点,试问在椭圆E1上是否存在一定点N,使得k1,k3,k2成等差数列(其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率).若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,所以=且F1ECF2,所以F2DC=F2CD=EF1D,所以=,所以+=|ED|+=,又因为圆F2的半径为8,即=8,所以+=8.(2)由(1)知,曲线E1是以F1,F2为焦点的椭圆,且长轴长为8,所以曲线E1的方程为+=1(y0),由题意,
5、设直线l的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程化简得x2+16k2x+16k2-48=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则x1+x2=-,x1x2=,所以k1+k2=+=,因为k1,k3,k2成等差数列,所以2k3=k1+k2,因为k3=,所以2=,化简得24k3-24k2y0+24k-24y0=0,对任意的k该等式恒成立,所以x0=-2,此时y0=3.所以存在点N(-2,3)使得k1,k3,k2成等差数列.考点二圆锥曲线与向量交汇【典例】(2020福州模拟)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,A,B是椭圆上关于原点O对称的两个动点,当点A的坐标为时,ABF的周长恰
6、为7. (1)求椭圆的方程.(2)过点F作直线l交椭圆于C,D两点,且=(R),求ACD面积的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)利用椭圆的定义和对称性以及点A的坐标求a,b(2)求|CD|将直线方程与椭圆方程联立,建立C、D两点坐标之间的关系,利用弦长公式求解求ACD面积求出点A到CD的距离,根据三角形面积计算公式建立目标函数求范围根据目标函数解析式的特征,采用相应的方法,转化为函数的值域问题【解析】(1)当点A的坐标为时,=,所以|AB|=3.由对称性,+=2a,所以2a=7-3=4,得a=2,将点代入椭圆方程+=1中,解得b2=4, 所以椭圆方程为+=1.(2)当直线AB的斜率不存在
7、时,=2,此时SACD=22=2. 当直线AB的斜率存在时,设直线CD的方程为y=k(x+2)(k0).由 消去y整理得:(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0. 显然0,设C,D,则 故= =.因为=(R),所以CDAB,所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d=,所以SACD=d=4=2=2,因为1+2k21,所以01,所以0SACDb0)的离心率为,短轴为MN(M为上顶点).点P(4,0)满足=15.(1)求椭圆C的方程.(2)设O为坐标原点,过点P的动直线l与椭圆交于点A、B,是否存在常数使得+为定值?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)=(-4,b)
8、(-4,-b)=16-b2=15,所以b=1,又e=,所以=,a2=4,从而C的方程为+y2=1.(2)当l不为x轴时,设l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),联立l与C的方程可得(m2+4)y2+8my+12=0,所以y1+y2=-,y1y2=,+=x1x2+y1y2+(x1-4)(x2-4)+y1y2=(1+)(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+16=+16.因为+为定值,所以=,解得=,此时定值为.当l为x轴时,A(-2,0),B(2,0),+=-4+12=.综上,存在=使得+为定值.考点三圆锥曲线与导数交汇【典例】(2020西安模拟)设定点F(0,1),动点E满足
9、:以EF为直径的圆与x轴相切.(1)求动点E的轨迹C的方程.(2)设A,B是曲线C上两点,若曲线C在点A,B处的切线互相垂直,求证:A,F,B三点共线.【解题导思】序号题目拆解(1)直接法将已知条件转化为点E的坐标所满足的条件,然后化简即可(2)求A、B两点处的切线斜率导数的几何意义求切线斜率建立两点坐标关系根据切线相互垂直建立坐标之间的关系证明三点共线利用有公共点的两直线斜率相等证明三点共线【解析】(1)设E,则EF的中点为M,依题意知M到点F的距离与它到x轴的距离相等,可得=,化简得x2=4y,即为动点E的轨迹C的方程.(2)设A,B,则由y=得y=,知曲线C在点A,B处的切线的斜率分别是
10、,依题意=-1,即x1x2=-4,可得B,所以kAF=-,kBF = = -,所以kAF=kBF,知A,F,B三点共线.导数与圆锥曲线的结合点主要有两个方面(1)利用导数的几何意义给出直线方程;(2)利用导数法求解圆锥曲线中的最值时,若某些目标代数式的形式比较复杂,不能直接根据基本初等函数的性质求解最值,可借助导数研究函数的单调性,进而求解其最值.(2019郑州模拟)已知动圆E经过点F(1,0),且和直线l:x=-1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程.(2)已知点A(3,0),若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求ABC面积的最大值.【解
11、析】(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离,所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程是y2=4x.(2)设直线l的方程为y=x+m,其中-3m0恒成立.由根与系数的关系得x1+x2=4-2m,x1x2=m2,所以|CB|=4,点A到直线l的距离d=,所以SABC=4=2(3+m),令=t,t(1,2),则m=1-t2,所以SABC=2t(4-t2)=8t-2t3,令f(t)=8t-2t3,所以f(t)=8-6t2,令f(t)=0,得t=(负值舍去).易知y=f(t)在上单调递增,在上单调递减.所以y=f(t)在t=,即m=-时取得最大值
12、为.所以ABC面积的最大值为.【变式备选】1.已知平面上一动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为.(1)求点P的轨迹方程.(2)点O是坐标原点,A,B两点在点P的轨迹上,F是点C关于原点的对称点,若=,求的取值范围.【解析】(1)设P(x,y)是所求轨迹上的任意一点,由动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为,得=,化简得+=1,即点P的轨迹方程为+=1.(2)由F是点C关于原点的对称点,所以点F的坐标为(-1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为=,则(x1+1,y1)=(-1-x2,-y2),可得 , 因为+=1,即+=1,又由+=
13、1,则+=2 ,-得:=1-2,化简得x2=,因为-2x22,所以-22,解得3,所以的取值范围是.2.已知椭圆N:+=1(ab0)经过点C(0,1),且离心率为.(1)求椭圆N的方程.(2)直线l:y=kx-与椭圆N的交点为A,B两点,线段AB的中点为M,是否存在常数,使AMC=ABC恒成立,并说明理由.【解析】(1)因为椭圆N:+=1经过点C,且离心率为,所以b=1,又=,a2-c2=b2,可解得c=1,a=,焦距为2c=2,故所求椭圆的方程为+y2=1. 存在常数=2,使AMC=ABC恒成立.证明如下:由 得x2-12kx-16=0,0,设A,B,则x1+x2=,x1x2=,又因为=,=,所以=x1x2+=x1x2+=x1x2-k+=-k +=0,所以,因为线段AB的中点为M,所以=,所以AMC=2ABC.存在常数=2,使AMC=ABC恒成立.3.(2020福州模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS,当lx轴时|RS|=3.(1)求椭圆C的标准方程.(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由内切圆的性质,得2cb=(2a+
