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1、北京市西城区2013 2014学年度第一学期期末高三数学(理科)参考答案及评分标准 2014.1一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1B 2C 3D 4B 5A 6C 7A 8D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9 10 11 12 13 14 注:第10、13、14题第一问2分,第二问3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15(本小题满分13分) ()解:因为的最小正周期为, 所以 ,解得 3分 由 ,得, 即 , 4分 所以 ,. 因为 , 所以. 6分()解:函数 8分 , 10分由 , 11分解得 12分所
2、以函数的单调增区间为.13分16(本小题满分13分)()解:依题意,得 , 2分解得 . 3分()解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件, 4分依题意 ,共有10种可能. 5分由()可知,当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,所以当时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有8种可能 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 7分()解:当时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果有种, 它们是:, 9分则这两名同学成绩之差的绝对值的所有取值为. 10分因此,. 11分所以随机变量的分布列为:0123412分所以的数学期望13分17(本小题满分14分)()证明:因为四边
3、形是菱形,所以 . 1分因为平面平面,且四边形是矩形, 所以 平面, 2分又因为 平面,所以 . 3分因为 ,所以 平面. 4分()解:设,取的中点,连接,因为四边形是矩形,分别为的中点,所以 ,又因为 平面,所以 平面,由,得两两垂直.所以以为原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标系. 5分FBCEAHDOzNxy因为底面是边长为2的菱形,所以 ,. 6分因为 平面, 所以平面的法向量. 7分设直线与平面所成角为,由 , 得 ,所以直线与平面所成角的正弦值为. 9分()解:由(),得,.设平面的法向量为,所以 10分即 令,得. 11分由平面,得平面的法向量为,则. 13
4、分由图可知二面角为锐角,所以二面角的大小为. 14分18.(本小题满分13分)()解:因为,所以 2分令,得 3分当变化时,和的变化情况如下: 5分故的单调减区间为;单调增区间为 6分()解:结论:函数有且仅有一个零点. 7分理由如下:由,得方程, 显然为此方程的一个实数解. 所以是函数的一个零点. 9分当时,方程可化简为. 设函数,则,令,得当变化时,和的变化情况如下:即的单调增区间为;单调减区间为所以的最小值. 11分因为 , 所以,所以对于任意,因此方程无实数解所以当时,函数不存在零点.综上,函数有且仅有一个零点. 13分19(本小题满分14分)()解:抛物线的焦点为. 1分由题意,得直
5、线的方程为, 2分令 ,得,即直线与y轴相交于点. 3分因为抛物线的焦点在直线的下方,所以 ,解得 . 5分()解:由题意,设,联立方程 消去,得, 由韦达定理,得,所以 . 7分同理,得的方程为,. 8分对函数求导,得,所以抛物线在点处的切线斜率为,所以切线的方程为, 即. 9分同理,抛物线在点处的切线的方程为.10分联立两条切线的方程解得,所以点的坐标为. 11分因此点在定直线上. 12分因为点到直线的距离,所以,当且仅当点时等号成立 13分由,得,验证知符合题意.所以当时,有最小值. 14分20(本小题满分13分)()解:由等比数列的,得,且当时,. 1分 所以,且当时,. 2分 即 3
6、分()证明:因为 ,所以 ,. 4分因为 ,所以 ,. 5分 由 ,得 . 6分因为 , 所以 , 所以 ,即 . 8分()证明:(充分性)因为 , 所以 , 所以 对一切正整数n都成立. 因为 ,所以 . 9分(必要性)因为对于任意的,当时,由,得;当时,由,得.所以对一切正整数n都有. 由 ,得对一切正整数n都有, 10分所以公比为正有理数. 11分假设 ,令,其中,且与的最大公约数为1. 因为是一个有限整数,所以必然存在一个整数,使得能被整除,而不能被整除.又因为,且与的最大公约数为1. 所以,这与()矛盾.所以.因此,. 13分 更多试题下载: (在文字上按住ctrl即可查看试题)高考模拟题:高考各科模拟试题【下载】历年高考试题:历年高考各科试题【下载】高中试卷频道:高中各年级各科试卷【下载】高考资源库:各年级试题及学习资料【下载】高考资源库:各年级试题及学习资料【下载】