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1、数列的分类（1） 按项数分：可以分为有穷数列和无穷数列，即如果项数是有限的那么就是有穷数列，如果项数是无限的那么就是无穷数列：（2）按增减分：可以分为递增数列和递减数列，即如果数列的项是随着项数的增加而增加的就是递增数列，如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列；（3）按项的特点分：可以分为摇摆数列和常数列，即如果数列的项是在某个或某几个数之间来回摇摆就是摇摆数列，如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数列。有穷数列的定义：项数有限的数列叫做有穷数列；无穷数列的定义：项数无限的数列叫做无穷数列；递增数列的定义：一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
2、叫做递增数列。递减数列的定义：如果从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。单调数列：递增数列和递减数列通称为单调数列.数列的单调性:1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;2.单调数列的判定方法:已知数列an的通项公式，要讨论这个数列的单调性，即比较an与an+1的大小关系，可以作差比较；也可以作商比较，前提条件是数列各项为正。摆动数列的定义：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。巧用(-1)n求摆动数列的通项：在数列
3、中，我们经常会碰到求形如：1，-1,1，-1，或-1,1，-1,1，等数列的通项，很显然，我们只要利用(-1)n进行符号的调整，就能很快求出数列的通项公式，我们在其它摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通项公式。例题1.有穷数列1，23，26，29，23n+6的项数是（ ）A3n+7B3n+6Cn+3Dn+2答案：C例题2.已知an是递增的数列，且对于任意nN*，都有an=n2+n成立，求实数的取值范围解：an是递增的数列，anan+1对任意的nN*恒成立，即n2+n(n+1)2+(n+1)，解得-2n-1，-2n-1-3，-3例题3.共有10项的数列an的通项an=，则该数列中最大项、最
4、小项的情况是（ ）A.最大项为a1，最小项为a10B.最大项为a10，最小项为a1C.最大项为a6，最小项为a5D.最大项为a4，最小项为a3答案：D例题4*.在单调递增数列an中，a1=2，不等式(n+1)anna2n对任意nN*都成立，（）求a2的取值范围；（）判断数列an能否为等比数列？说明理由；（）设，求证：对任意的nN*，（）解：因为an是单调递增数列，所以，令n=1，所以。（）证明：数列an不能为等比数列。用反证法证明：假设数列an是公比为q的等比数列，因为an单调递增，所以q1，因为nN*，(n+1)anna2n都成立，所以nN*， 因为q1，所以，使得当时，因为（nN*），所以
5、，当时，与矛盾，故假设不成立。（）证明：观察：，猜想：；用数学归纳法证明：（1）当n=1时，成立；（2）假设当n=k时，成立；当n=k+1时，所以，根据（1）（2）可知，对任意nN*，都有，即，由已知得，所以，所以当n2时，因为，所以对任意nN*，对任意nN*，存在mN*，使得，因为数列an单调递增，所以，因为，所以。例题5.已知下列数列：(1)2 000，2 004，2 008，2 012；(2)0，；(3)1，；(4)1，；(5)1，0， -1，sin，；(6)3，3，3，3，3，3其中，有穷数列是（ ），无穷数列是（ ），递增数列是（ ），递减数列是（ ），常数列是（ ），摆动数列是（
6、），周期数列是（ ）。（将合理的序号填在横线上）答案：(1)(6)；(2)(3)(4)(5)；(1)(2)；(3)；(6)；(4)(5)；(5)例题6.下列叙述中正确的个数为 （ ）数列an，an=2是常数列；数列是摆动数列；数列是递增数列；若数列an是递增数列，则数列anan+1也是递增数列；A1B2C3D4答案：C例题7.已知Sk表示数列ak的前k项和，且Sk+Sk+1=ak+1(kN*），那么此数列是（ ）A递增数列B递减数列C常数列D摆动数列例题8.设Sn为数列an的前n项和（n=1，2，3，）。按如下方式定义数列 an：a1=m（mN*），对任意kN*，k1，设ak为满足0akk-1
7、的整数，且k整除Sk，（）当m=9时，试给出an的前6项；（）证明：kN*，有；（）证明：对任意的m，数列an 必从某项起成为常数列。解：（）m=9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3，即前六项为9，1，2，0，3，3。（）；（）有，由（）可得，为定值且单调不增，数列必将从某项起变为常数，不妨设从l项起为常数，则，于是，所以，所以an当nl+1时成为常数列。例题9*.数列an满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，。（）若数列an为常数列，求a1的值；（）若a1=，求证：；（）在（）的条件下，求证：数列a2n单调递减。（）解：因为数列为常数列，所以，由n的任意性知，或。（）证明：
8、用数学归纳法证明，当n=1时，符合上式；假设当n=k（k1）时，因为， 所以，即，从而，即，因为，所以，当n=k+1时，成立，由，知，。（）证明：因为（n2），所以只要证明，由（）知，所以只要证明，即证明，令，所以函数f(x)在R上单调递增；因为，所以，即成立，故，所以数列单调递减。例题10*.已知An（an，bn）（nN*）是曲线y=ex上的点，a1=a，Sn是数列an的前n项和，且满足：，n=2，3，4，（）证明数列是常数数列；（）确定a的取值集合M，使aM时，数列an是单调递增数列；（）证明当aM时，弦AnAn+1（nN*）的斜率随n单调递增。解：（）当n2时，由已知得，因为， 于是， 由-得， 于是， 由-得， 所以(n2)是常数列。（）由有，由有，而表明：数列分别是以a2、a3为首项，6为公差的等差数列，所以，数列是单调递增数列对任意的kN*成立，即所求a的取值集合是。（）弦，任取x0，设函数，记，当上为增函数，当上为减函数，所以，从而f（x）0，所以f（x）在上都是增函数；由（）知，当aM时，数列单调递增，取；取；所以的斜率随n单调递增。.
