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1、补充练习三 矩阵一、选择题：（1）设A和B均为n阶方阵，则必有（ ）。（A）|A+B|=|A|+|B|； （B）AB=BA （C）|AB|=|BA| （D）（A+B）-1=A-1+B-1（2）设A和B均为n阶方阵，且满足AB=0，则必有（ ）。（A）A=0或B=0 （B）A+B=0（C）|A|=0或|B|=0 （D）|A|+|B|=0（3）设，则必有（ ）。（A）AP1P2=B； （B）AP2P1=B； （C）P1P2A=B； （D）P2P1A=B（4）设n维行向量，矩阵，其中E为n阶单位矩阵，则AB=（ ）。（A）0； （B）E； （C）-E （D）（5）设n阶方阵A非奇异（n2），A*是A
2、的伴随矩阵，则（ ）。（A）(A*)*=|A|n-1A； （B）(A*)*=|A|n+1A；（C）(A*)*=|A|n-2A； （D）(A*)*=|A|n+2A（6）设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有（ ）。（A）ACB=E； （B）CBA=E； （C）BAC=E； （D）BCA=E（7）设，其中A可逆，则B-1等于（ ）。（A）A-1P1P2； （B）P1A-1P2； （C）P1P2A-1； （D）P2A-1P1（8）已知，P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0，则（ ）。（A）t=6时，P的秩必为1； （B）t=6时，P的秩必为2；（C）t6时，P的秩必为1； （D
3、）t6时，P的秩必为2（9）设A是mn矩阵，C是n阶可逆方阵，r(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1，则（ ）。（A）r=r1 （B）rr1 （C）rr1 （D）r与r1的关系依C而定（10）设A、B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩（ ）。（A）必有一个等于0； （B）都小于n；（C）一个小于n，一个等于n； （D）都等于n（11）设矩阵Amn的秩r(A)=mn，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（ ）。（A）A的任意m个列向量必线性无关；（B）A的任意一个m阶子式不等于零；（C）A通过初等行变换，必可化为（Em,0）形式；（D）非齐次线性方程组AX=B一定有无穷多组解。（12）设
4、三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）。（A）a=b或a+2b=0； （B）a=b或a+2b0；（C）ab且a+2b=0； （D）ab或a+2b0；二、填空题：（1）已知：；，设，其中是的转置，则An=_。（2）设，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=_。（3）设，而n2为正整数，则An-2An-1=_。（4）设为3维列向量，T是的转置，若T=，则T=_。（5）设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_。（6）设A和B为可逆矩阵，为分块矩阵，则X-1=_。（7）设n阶方阵A满足A2+A-4E=0，其中E为n阶单位矩阵，则（A-E）-1=_。（8）设矩阵，B=A2-3A+2E，则B
5、-1=_。（9）设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+B，则（A-E）-1=_。（10）设n维向量，其中，E是n阶单位矩阵，其中A的逆矩阵为B，则=_。三、已知三阶矩阵A的逆矩阵为：，试求伴随矩阵A*的逆矩阵。四、设n阶矩阵A、B满足条件A+B=AB，（1）证明：A-E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵；（2）已知，求A。五、已知矩阵，且矩阵X满足：AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是三阶单位矩阵，求X。六、已知A、B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是三阶单位矩阵。（1）证明：A-2E可逆；（2）若，求A线性代数补充练习三参考答案一、（1）C（2）C（3）
6、C（4）B（5）C（6）D （7）C（8）C（9）A（10）B（11）D（12）C二、（1）（2）-3（3）0（4）3（5）0 （6）（7）（8）（9）（10）-1三、四、（1） A+B=AB AB-A-B+E=E 即：（A-E）（B-E）=E A-E可逆，且(A-E)-1=B-E，(B-E)-1=A-E （2）A=E+(B-E)-1=五、 AXA+BXB=AXB+BXA+E （AXA-AXB）+（BXB-BXA）=E AX（A-B）+BX（B-A）=E AX（A-B）- BX（A-B）=E （AX-BX）（A-B）=E （A-B）X（A-B）=E（*）又 |A-B|=10 A-B可逆，且可求出，对（*）式两端左乘(A-B)-1，右乘(A-B)-1，得：。六、（1） 2A-1B=B-4E，左乘A，得：2B=AB-4A，即：AB-2B-4A=0 （A-2E）（B-4E）=8E 即： 故 A-2E可逆，且 （2） A-2E=8(B-4E)-1
