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1、2016中考数学专题讲座 几何与函数问题【知识纵横】 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。【典型例题】【例1】已知，（如图）是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；BADMECBADC备用图（3）联
2、结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长【思路点拨】（1）取中点，联结；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在中，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接若设运动的时间为（），解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；AQCPBAQCPB（4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边
3、长；若不存在，说明理由 图（1） 图（2）【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ = 2t，证APQ ABC；（2）过点P作PHAC于H（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，若四边形PQP C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。【例3】（山东德州）如图（1）,在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN令AMx （1）用含x的代数式表示NP的面积S； （2）当x为何值时，O与直线BC相切？ （3）在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y
4、关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCMNPOABCMNDOABCMNPO 图（1） 图（2） 图（3）【思路点拨】（1）证AMN ABC；（2）设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQBC 于Q，证BMQBCA；（3）先找到图形娈化的分界点，2。然后 分两种情况讨论求的最大值： 当02时， 当24时。【学力训练】1、（山东威海） 如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB7，CD1，ADBC5点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MNAB，MEAB，NFAB，垂足分别为E，FCDABEFNM（1）求梯形ABCD的面积
5、； （2）求四边形MEFN面积的最大值 （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由 ABCDERPHQ2、（浙江温州市）如图，在中，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动设，（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由3、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）过E作直线AB的垂线，垂足为F FE
6、与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF（1） 求证：BEF CEG（2） 当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx，DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？ 4、（浙江台州）如图，在矩形中，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）求与之间的函数关系式；当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？DQCBPRABADC（备用图1）BADC（备用图
7、2）几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例1】（上海市）（1）取中点，联结，为的中点，又，得；（2）由已知得以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，即解得，即线段的长为；（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；当时，易得得；当时，又，即，得解得，（舍去）即线段的长为2综上所述，所求线段的长为8或2图BAQPCH【例2】（山东青岛）（1）在RtABC中，由题意知：AP = 5t，AQ = 2t，若PQBC，则APQ ABC， （2）过点P作PHAC于HAPH ABC， （3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ， 解得：若PQ把A
8、BC面积平分，则， 即3t=3 t=1代入上面方程不成立， 不存在这一时刻t，使线段PQ把RtACB的周长和面积同时平分P BAQPC图MN（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，若四边形PQP C是菱形，那么PQPCPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC， ， ，解得：当时，四边形PQP C 是菱形 此时，在RtPMC中，菱形PQP C边长为【例3】（山东德州）（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC ，即 ANx =（04） （2）如图（2），设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MNABCMND图（ 2）OQ在RtABC中，BC =5 由
9、（1）知 AMN ABC ，即 ，ABCMNP图 （1）O 过M点作MQBC 于Q，则 在RtBMQ与RtBCA中，B是公共角， BMQBCA ， x 当x时，O与直线BC相切 （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点ABCMNP图 （3）O MNBC， AMN=B，AOMAPC AMO ABP AMMB2 故以下分两种情况讨论： 当02时， ABCMNP图 （ 4）OEF 当2时， 当24时，设PM，PN分别交BC于E，F 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 又PEF ACB 当24时， 当时
10、，满足24， 综上所述，当时，值最大，最大值是2【例3】（山东德州）（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC ，即 ANx =（04） ABCMND图（ 2）OQ（2）如图（2），设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN在RtABC中，BC =5 由（1）知 AMN ABC ，即 ， 过M点作MQBC 于Q，则 在RtBMQ与RtBCA中，B是公共角， BMQBCA ABCMNP图 （1）O ， x 当x时，O与直线BC相切（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点ABCMNP图 （3）O MNBC， AMN=B，AOMAPC
11、AMO ABP AMMB2 故以下分两种情况讨论： 当02时， 当2时， ABCMNP图 （ 4）OEF 当24时，设PM，PN分别交BC于E，F 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 又PEF ACB 当24时， 当时，满足24， 综上所述，当时，值最大，最大值是2 【学力训练】1、（山东威海）（1）分别过D，C两点作DGAB于点G，CHAB于点H ABCD， DGCH，DGCH 四边形DGHC为矩形，GHCD1 CDABEFNMGH DGCH，ADBC，AGDBHC90， AGDBHC（HL） AGBH3 在RtAGD中，AG3，AD5， DG4 CDABEFNMGH（2） MNAB，MEAB，NFAB， MENF，MENF 四边形MEFN为矩形 ABCD，ADBC， AB MENF，MEANFB90， MEANFB（AAS） A
