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1、概率统计中的反例前言第一章 随机事件及其概率1 同一问题的概型未必唯一2 事件间的关系（1） 由 推不出 （2） 由推不出（3）3 概率为零的事件未必是不可能的事件4 由概率关系推不出事件间关系5 试验次数多概率就一定大吗？6 概率与抽样方式是否有关7 事件概率与试验的先后次序是否有关第二章 随机变量极其分布1 离散型分布的最可能值是否唯一2 单调不降右连续是分布函数的必要而非充分条件3 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在4 具有无记忆性的离散型分布是否存在5 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布6 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布7 边缘分布不能决定联合分布8 不同的联合分布可具有相
2、同的边缘分布9 正态边缘分布可由非正态联合分布导出10. 均匀分布不具有可加性11. 分布函数之和不是分布函数第三章 独立性与相关性相容性1 两两独立但不相互独立2 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C不两两独立3 独立关系不具有传递性4 随机变量不独立，但其函数可以独立5 X与Y不独立，但与独立6 X与Y不独立，但有相同分布7 既不相关也不独立的随机变量8 随机变量独立但它们的函数未必独立9 独立性与相容性10. 独立同分布的随机变量是否必相等11. 有函数关系的随机变量是否一定不独立第四章 随机变量的数字特征1 随机变量的数学期望未必都存在2 随机变量的方差未必都存在3
3、 数学期望存在但方差不存在4 X的函数的期望是否等于X的期望的函数5 X的各阶矩都存在也不能确定X的分布函数6 满足E(XY)=E(X)E(Y)的X,Y未必独立 第五章 参数估计与假设检验1 矩估计是否有唯一性2 矩估计不具有“不变性”3 极大似然估计是否有唯一性4 似然方程的解未必是极大似然估计5 参数估计的无偏性与一致性有无关系6 无偏估计是否唯一7 零假设与备择假设是否处于对等的地位前 言数学是由两个大类证明和反例组成数学发现主要是提出证明和构造反例从科学性来讲反例就是推翻错误命题的有效手段从教学上而言反例能够加深对正确结论的全面理解【美】B.R.盖尔鲍姆曾说 “一个数学问题用一个反例予
4、以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧”相信读了概率统计中的反例后我们大家都会有这一同感第一章 随机事件及其概率1 同一问题的概型未必唯一概型（Schema）是随机现象的数学形式，它不是实际本身，而是实际的数学抽象。对于现实世界中的随机现象，要想进入数学理论的研究，首先必须确定其概型。由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性，使得所选定的概型往往不是唯一的。概率论中著名的“n个球在n个盒子中的分布问题”（见王梓坤概率论基础及其应用P12-13 科学出版社）就说明了这一情况，这是一个典型概型的问题，内容是：设有r个球，每个都能以相同概率1/n落到n个盒子（n=r）的每一个盒子中，求指定的某r个盒子中各有
5、一个球的概率。如果我们把r各球视作r个人，而把n个盒子视为一年的天数：n=365.这时上述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型。此问题是求参加某次集会的几个人中，没有n个人生日相同的概率。众所周知，关于球彼此间可以认为是有区别，也可以认为无区别；一个盒子可以假定仅能容纳一个球，也可以允许它能容纳许多球，如此一来，就可以分为以下几种概型：（1） 马克斯威尔波尔茨曼 认为球彼此之间有区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（2） 玻色爱因斯坦 认为球彼此不能区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（3） 费密狄雷克 认为球彼此无区别，且限制每盒中不能同时容纳二个球。后来，为了统一以上三种情况，又产生
6、了第四种情况（4） 布里龙 认为球彼此可以区别，且增加了一些其他条件限制（见杨宗磐概率论入门 P.13 科学出版社）以上四种情况，形成了统计物理学中的四种统计：球可看作为质点，盒子看作状态。再看一例：n个人围成一个圆周，求其中甲、乙两人之间恰有r(n-2)个人的概率。（圆周排列时，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）对此问题，至少可找到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验：（1） n个人的任意一种排列作为一个基本事件；（2） 仅以甲、乙两人在n个人一行中的不同排法作为基本事件组；（3） 可由甲与乙之间的间隔数来考虑。不论取何种概型，本题的求概率均为1/(n-1).2 事件间的关系(1). 由 推
7、不出 事实上，令 A=1,2,3,4,B=1,3,5,于是C=A-B=2,4,而注：但时，能由(2). 由推不出 令A=1,2,3,5,B=1,2,C=1,3,5,则但 注：当,且时可由(3). 一般 令A=1,2,B=2,3,C=2,则 注：当 时，3 概率为零的事件未必是不可能事件不可能事件的概率必为零，反之却未必成立当考虑的概型为古典概型时，概型为零的事件一定是不可能事件当考虑的概型是几何概型时，概型为零的事件未必是一个不可能事件。例如：设试验E为“随机地向边长为1的正方形内投点”，事件A为“点投在正方形的一条对角线上”（见图） 此时 尽管但A却可能发生，另外，对于连续性随机变量，它在某
8、固定点取值的概率为零，但它不是不可能发生。发生上述情形的原因，在于概率是一个测度，有测度为0的不可数集存在，并且对于连续函数来说，在一点处的积分为零。由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件。4 由概率关系推不出事件间关系 概率中有这样的性质：若事件A,B有关系,则其相应的概率关系是,反之却不真。例如： 设P(A)=0.1,P(B)=0.2,此时不成立，事实上，由得出P(AB)=0.1. 于是 由问题3，这意味着可有,从而未必有。5 试验次数多概率就一定大吗 在概率论的萌芽时期，有一个著名的(Chevalier de Were)问题：一颗骰子掷4次至少得一个1点，与两颗骰子掷24次至少得两个
9、1点，这两个事件究竟哪个概率大？曾引起很多人的注意。现在看来，利用独立试验概型容易求出它们的概率。 n次独立重复试验中事件A至少发生一次的概率为，其中，现考虑欲使，则，此式给出了n的下界，使问题得以解决。 以掷一颗骰子作试验，要连续掷n次使1点至少出现一次的概率大于等于1/2,则.以掷两颗骰子作试验，要连续掷n次使两个1点至少出现一次的概率大于等于1/2,则.由此得出，一颗骰子掷4次至少有一个1点的概率大于等于1/2,而两颗骰子掷24次至少有一次得两个1点的概率小于1/2. 本例说明试验次数很多，但概率不一定大。6 概率与抽样方式是否有关一般，所求事件的概率与抽样方式有关，常见的有放回抽样与不
10、放回抽样两种。前者指同一个体可被重复抽取，后者指已被抽取的个体不再参与下一此抽样，每一个体至多被抽到一次。 例如有n件产品，其中有m件次品，现随机抽取件产品。求其中恰有k件次品的概率。在抽样方式未定的情况下，此概率是不唯一的，事实上：若取放回抽样，所求概率 （1）若取不放回抽样 所求概率 （2）显然 （1），（2）分别称为二项分布与超几何分布。当时即二项分布是超几何分布的极限分布。由此得出如下结论：对于样本点个数较小的总体，在放回抽样与不放回抽样的场合，事件的概率会有较大的差别。当总体中样本点个数很大，样本容量不大时，这两种抽样方式对所求事件的概率实际上影响不大。7 事件概率与试验的先后次序是
11、否有关 设有一口袋，内有a只黑球，b只白球，他们除颜色不同外没有其它不同之处，现把球一只只地摸出，求第k次摸出的是黑球的概率 .初看题目，很可能会认为所求概率与摸球次序有关，若那样的话，体育比赛中先后抽签者中签的机会就不均等了，这与我们日常生活中的经验不符，通过具体计算亦可看出所求概率与摸球次序无关。按自然顺序给球编号，不妨先给黑球编号，再给白球编号，取样空间为第k次摸出的球的全部可能的结果，则 表示第k次摸出第I号球，于是要求的是事件 的概率。由古典概率，P(A)显然与k有关。本题可用多种方法求解，这里介绍的是最简单的一种，本题存在多种解法的原因，在于一个随机现象有时可用不同的样本空间来描述
12、，所以称本解法是最简单的，因为解法中的样本空间是最小的。第二章 随机变量及其分布1 离散型分布的最可能值是否唯一离散型分布的最可能值指的是该随机变量取值中那些使概率达到最大的值，即若任意一个离散型分布，若，则称为此分布的最可能值。一般离散型分布的最可能值不唯一，比如：二项分布B（n,p）中，当为非负整数时，恰有两个最可能值：与.如二项分布B（8，1/3）,其最可能值为k=2或3.可以证明，任何离散型分布的最可能值一定存在，而且至少有一个。证明见王梓坤概率论基础及其应用 科学出版社）2 单调不降右连续是分布函数的必要条件分布函数一定是单调不降（右）连续的函数，反之命题不成立。例如，取，显然是调调
13、不降函数，且右连续，可是，所以不可能是某个随机变量的分布函数。因为只有当一个函数满足单调不见，非负有界（，且右连续（或左连续）时，才能成为某个随机变量的分布函数。3 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在如果一个分布函数是连续的，并且其导函数几乎处处等于零（关于勒贝格测度而言），则称为奇异型分布函数。如果随机变量X的分布函数是奇异型的，则称X为奇异型随机变量。任何一个奇异型的分布函数都是一个既非离散型又非连续型的分布函数。有没有非奇异型的分布函数属于既非离散型又非连续型的分布函数？有，请看下例：设，由分布函数的定义又知是分布函数，又，故不是奇异型的分布函数，与对应的随机变量不是取有限个或可列多
14、个值，故不是离散型的分布函数，又 故也不是连续的分布函数。4 具有无记忆性的离散型分布是否存在设随机变量X服从某个分布，若它满足 则称概分布具有无记忆性。对于连续型分布来说，指数分布是唯一的具有无记忆性的。（证明可见 复旦大学概率论 人们教育出版社 P.125-126）在可靠性问题中，把X理解为某元件的寿命，则无记忆性表示某元件的寿命如果已知大于5年，则其寿命再延长七年的概率与年令无关。具有无记忆性的离散型分布也是存在且唯一的，那就是几何分布 几何分布是一种等待分布，例如,在事件A发生的概率为p的贝努里试验之中，A首次出现时的等待次数X的分布为几何分布。5 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布若两个随机变量X,Y满足,则称X与Y几乎相等。可以证明：几乎相等的随机变量具有相同的分布，反之都不成立。例如，设X与Y具有相同的分布 并设X与Y相互独立，据此可算得，从而，即X与Y不几乎相等。所以不几乎相等得随
