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1、计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述ReviewoftheBoundaryIntegralEquationandBoundaryElementMethodinSolidMechanics土木工程系评语读书报告计算固体力学（2013-2014）目录摘要2ABSTRACT2一、弓丨言31）什么是边界元法32）积分方程和边界元法的发展历史23二、边界元法541）概述42）基本解43）拉普拉斯（Laplace）积分方程54）拉普拉斯（Laplace）边界积分方程65）拉普拉斯（Laplace）积分方程离散化与解法66）泊松（Poisson）边界积分方程7三、结束语8参考文献9-
2、#-读书报告计算固体力学(2013-2014)摘要本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。它以边界积分方程为数学基础，同时采#读书报告计算固体力学(2013-2014)用了与有限元法相似的划分单元离散技术，为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组,的有限单元法求解不可压缩材料会遇到严重困难问题。近年来随着将快速多级算法引入边界元法几个数量级的提高。关键词：边界元法积分方程边界离散通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散从而得到原问题
3、边界积分方程的解。用传统，但是用边界元法求解这类材料不会有任何，使边界元法的计算效率和解题规模都有了快速多级算法#读书报告计算固体力学(2013-2014)#读书报告计算固体力学(2013-2014)AbstractThispaperreviewsthehistory,currentsituationanddevelopmentoftheboundaryelementmethodanddeducedtheintegralequation.Theboundaryelementmethodisbasedontheintegralequationandabsorbedthediscretetechn
4、ologyoffiniteelementmethod.Ithastheadvantagesofsimplecalculation,strongadaptabilityandhighaccuracy.Itisbasedontheboundaryintegralequation,thoughboundarydiscretizationdiscreteboundaryintegralequationsintoalgebraicequations,andthenbythenumericalmethodsolvingalgebraicequations,thusobtaintheoriginalprob
5、lemsolutionofboundaryintegralequations.Thesolutionofnearlyorexactlyincompressiblematerialproblemspresentsseriousdifficultiesanderrorswhenusingtheconventionaldisplacement-basedfiniteelementmethod,becausethegeneralstress-strainequationsofelasticitycontaintermsthatbecomeinfiniteasPoissonsratioreaches0.
6、5,Whindthyelementmethodaccommodatessuchproblemswithoutanydifficultyduetothenatureoftheintegralequationsusedintheanalysis.Inrecentyears,thefastmulti-poleboundaryelementmethodhasreceivedmuchattentionbecausesomelarge-scaleengineeringdesignandanalysisproblemswereanalyzedfasterusingboundaryelementmethodt
7、hanwithfiniteelementmethod.Thisnewtrendsuggestsfutureprospectsforboundaryelementmethodapplications.Keywords:BoundaryElementMethod;IntegralEquation;BoundaryDiscretizationMethod;FastMultipoleAlgorithm引言1) 什么是边界元法边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法。从计算格式形成的全过程来看，关键问题有两个。一个是问题的边界化，即将给定区域上的定解问题化为可以只
8、考虑边界的问题。这一步的关键是格林公式，这是边界元法的基石。边界化的结果使问题降维，如果是各维尺度相近的大型问题，代数方程组的未知数按指数规律减少，这无疑将大大减少准备工作、存储量与机时。有限元法要将全部区域及边界离散，并要求将全部节点纳入方程进行计算，这是因为这些节点值包含在同一个封闭方程组中。边界元法的封闭方程组中只有边界结点上的未知量，解完方程组再根据需要有目的地求内部值，因此减少了计算的盲目性。第二个关键是边界的离散化。单就离散技术本身而言，与有限元法没有很大的不同。由于只对边界离散，因此计算误差只来源于边界，这就使我们将减少误差的全部注意力放在边界上。有由于区域内由解析公式计算，这就
9、提高了计算精度，并达到内部值的某些特殊要求，如连续性、可微性等。计算格式形成的两个关键已经体现了计算简单、适应性强、精度高的优点，这正是这种方法的生命力所在。2) 积分方程和边界元法的发展历史21828年GeorgeGreen就对位势问题提出了三个Green等式，其中包括解的积分表示式，即将问题的解表示为单层势和双层势与边界变量及其法向导数乘积的边界积分。1903年由ErikIvarFredholm奠基了积分方程理论。1926年ErichTrefftz提出了区别于Ritz法的积分方程边界解法，即Trefftz法。1963年M.A.Jaswon将边界积分方程直接法用于位势问题。1967年F.J.
10、Rizzo在QuarterlyAppliedMathematics发表了关于弹性静力学问题直接法边界积分方程方法的论文一维函数具有下列性质:。C.A.Brebbia于1978年出版了书籍工程师用边界元法，P.K.Nanerjee和R.Butterfield于1981年出版了工程科学中的边界元法。我国的边界元法研究起步于20世纪70年代末，清华大学的杜庆华在推动我国边界元法研究方面起了重要作用。清华大学张楚汉运用动力学边界元法与断裂力学原理提出重力坝地震断裂与拱坝裂缝扩展模型，在边坡与地下工程研究方面提出了时域边界元与离散元耦合模型。边界元法由于形成的代数方程组的系数矩阵是满阵，因此对于求解规模
11、有很大的制约，传统的边界元法难以处理工程实际中复杂的大规模计算问题。由于20世纪90年代开始将计#读书报告计算固体力学（2013-2014）算数学的重要成果一一快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。采用快速多极边界元法，在一台微机就能计算数十万、甚至上百万个自由度的大规模问题，在微机机群并行系统能计算近千万自由度，在超级计算机最大的算例达到数千万自由度。这是边界元法今年的重要进展之一。边界元法5(5)#读书报告计算固体力学（2013-2014）(5)#读书报告计算固体力学（2013-2014）1）概述采用边界元法求解时，根据积分定理，将区域内的微分方程
12、变换成边界上的积分方程。然后，将边界分割成有限大小的边界元素，称为边界单元，把边界积分方程离散成代数方程。同样，把求解微分方程的问题变换成求解关于节点未知量的代数方程的问题。边界元法分为直接法和间接法两类。直接法用物理意义明确的变量来建立积分方程，积分方程中的未知函数就是所求物理量在边界上的值；间接法用物理意义不一定明确的变量来建立积分方程。2）基本解边界元法中，将微分方程变换成积分方程时要应用基本解。设以函数u表示的某一物理现象与时间无关，微分方程为：Lu（P）=0（1）其中L为线性微分算子，P为区域内的点。式（1）的基本解u*定义为下列方程的解：Lu*（P,Q）、（P-Q）=0（2）式中的
13、P和Q为无限域中的任意两点,、.（PQ）为狄拉克（Dirac）.函数:(5)#读书报告计算固体力学（2013-2014）(5)#读书报告计算固体力学（2013-2014）(4)b.aU(x)(x-)dxu()0a：:b:a或b:(5)#读书报告计算固体力学(2013-2014)对于二维和三维问题只需把积分换为二维和三维积分即可。3) 拉普拉斯(Laplace)积分方程考虑下述二维拉普拉斯方程的混合边界条件问题:l2u=0区域吶(6)u=u边界:u上边界】q上(7)式中厂为拉普拉斯算子。格林(Green)公式:(8)式中P、Q为二维无限域中的任意两点。取P点为坐标原点，将(9)式写成极坐标形式,
14、即:d2u*1du*dr2rdr=(r)(10)r=0r=0拉普拉斯方程(6)的基本解u(P,Q)满足方程:(9)l2u*(P,Q)、(P_Q)二0r为P点和Q点之间的距离。运用格林公式可得拉普拉斯方程的基本解：*11,、u(P,Q)ln(11)2兀r(P,Q)把u和u*(P,Q)代入格林公式中，并由：函数的性质，可得：u(P)=u*(P,Q)q(Q)u(Q)q*(P,Q)d】(Q)(12)式中q*(P,Q)=工(P,Q)。该式是区域内任意点的函数值u(P)、边界上的函数值u(Q)岔(Q)和函数的法向导数值q(Q)之间的关系式，称为积分方程。如果边界上所以未知的函数值和函数的法向导数值全部求出的话，区域内任意点的函数值就可以通过上式计算。将基本解式(11)代入(12)式得:u（P）*少侖器虫）启口荷心）(13)4）拉普拉斯（Laplace）边界积分方程式（12）对于区域内的任意点都适用，现在把式（12）用在边界上，可得边界积分方程：C（P）u（P）二u*（P,Q）q（Q）_u（Q）q*（P,Q）d（Q）（14）式中的C（P）是与P点处的边界几何形状有关的常数，C（P）二兰巳，J（P）为边界点P处2n的边界切线之间的夹角，对于光滑边界d（p）二：。将基本解式（11）代入边界积分方程（14）式得:u(P)=1(Q)r(P,Q)：n(Q)-u(Q)lnn(Q)
