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1、概率论与数理统计教程教案第二章 随机变量及其分布 教材: 概率论与数理统计教程 总安排学时 :90本章学时 :18概率论与数理统计教案第五讲: 随机变量，离散型随机变量教学内容 : 随机变量的定义，随机变量的分布函数的定义及性质，一维离散型 随机变量。教学目的 :(1) 深刻理解随机变量的意义，熟练掌握用随机变量表示随机试验的结果 ; (2) 深刻理解随机变量分布函数的定义、掌握分布函数的性质 ; (3) 理解一维离散型随 机变量的意义，熟练掌握一维随机变量的表示，掌握离散型随机变量分布函数的计 算。教学的过程和要求 :(1) 举例给出随机变量的定义，举出连续型和离散型的例子，举出试验结果为
2、数量型和非数量型的情况的随机变量的表示并加以总结给出定义，强调随机变量的 取值与随机试验的结果之间的对应关系 ;说明引进随机变量的意义和目的。 (20 分 钟)(i) 举例说明随机变量的定义例:掷一颗骰子得到的点数，分别用 1、2、3、4、5、6来表示; 例: 测试一个 灯泡的使用寿命，结果对应着 (0，) 中的一个实数 ; ，,例:投篮一次“命中”可用 1表示，“没有命中”可用 0 表示; 例:从一批产品 中随机抽取一个检验，“次品”用 0 表示，“合格品”用 1 表示等等。XE随机变量：一个变量的取值取决于随机试验(现象)的基本结果，则该变量称 为随机变量随机变量常用大写字母X、丫、Z等表
3、X(,),示，其取值用小写字母 x、 y、 z 等表示 .(ii) 引进随机变量的意义和目的 ：意义： 随机变量是由随机试验的结果所决定的变量 ; “随机”性表现在，随机变 量取什么值，在试验前无法确知，要随机会而定 .目的 ： 引入随机变量的概念后，随机事件就可以用随机变量的数量形式来表 示，从而把对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，这是运用各种数学工具研 究随机现象的基础 .(2) 随机变量的分布函数及其性质 ; 此为本节重点。借助于函数及其性质来理解 和解决概率问题是引进分布函数的目的。对于分布函数要强调其与一般函数相同之 处和不同之处，由此来解释和证明分布函数的性质。声明凡具有分布
4、函数四个性质 的函数都可认为是某一随机变量的分布函数。 (i) 随机变量的分布函数定义 ：定义:设X是一个随机变量，对于任意实数 x，令F(x),pX,x称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数.F(x)1概率论与数理统计教案(ii) 分布函数性质 :1) 对于任意实数， ; 0,F(x),1x2) ; F(,),limF(x),0，F( ， ,),limF(x),1x,x,，,3) 是单调非减函数，即对于任意，有 ; F(x),F(x)F(x)x,x12124) 右连续，即 . F(x),F(x ，0)F(x)(iii) 举例说明分布函数性质 :0,x,0,2ax,0,x,12,a,34例
5、如 : 函数只有当 时可以成为某一随F(x),x,b,1,x,13,b,3,4x1,3,机变量的分布函数。 (可以举一相应的例子 )(35 分钟) (3) 根据前面所举例子， 强调离散型随机变量的特点给出离散型随机变量的分布列的表示和分布列的性质 并说明具有该两性质的数列也可认为是某随机变量的分布列。由分布函数的定义给 出离散型随机变量的分布函数 ; 书中例子，计算讲解后注意强调分布函数的右连续 性。 (i) 离散型随机变量的分布列定义及表示 :X定义：设为离散型随机变量，其可能取值为x, x, ? x,?，且12npX,x,p(x),p(i,1， 2，？ )iiiX 称上式为随机变量的概率分
6、布或分布列 .可用表格形式来表示为 ：? X x x x x 123n? pp p p p 123n(ii) 分布列的性质 ：1p,0(i,1 ， 2，? ); 2). p,1,iii1,(iii) 离散型随机变量的分布函数 ： F(x),pX,x,pX,x,p ii,xx,xxii(iv) 离散型随机变量的分布函数计算X例1:有一批产品共40件，其中有3件次品.从中随机抽取5件，以表示取 到次品的件数，求X的分布列及分布函数.2概率论与数理统计教案解：随机变量X可能取到的值为0，1, 2，3,按古典概率计算事件XX,k(k=0,1,2,3) 的概率，得的概率分布为k,k5CC337pX,k,
7、 ， k,0 ， 1 ， 2， 3. 5C40或X 0 1 2 3p0.6624 0.3011 0.0354 0. 0011x,0 当时， ; F(x),pX,x,00,x,1 当时， ; F(x),pX,k,pX,0,0.6624,k,xl, x,2 当时， =0.9635; F(x),pX,k,pX,0， pX,1,k,x类似地可求得 :2, x,3 当时， ; F(x),pX,0， pX,1 ， pX,2,0.9989x,3 当时， . F(x),10,x,0,0.6624,0,x,1,F(x), 故 0.9635,1,x,2,0.9989,2,x,3,1,x,3,(4) 补充例题 :一
8、批产品分一 ,二, 三级, 其中一级品是二级品的两倍 , 三级品是二级品的一半 从这批产品中随机地抽取一个检验质量 , 用随机变量描述检验的可能结果 , 写出它 的概率分布函数 .(25 分钟 )(5) 学生练习 :一批产品包括 10件正品, 3 件次品, 有放回地抽取 , 每次一件 , 直到取得正品 为止, 假定每件产品被取到的机会相同 , 求抽取次数的概率函数 . 练习: 书中配套 练习( 任选)(10 分钟)第六讲 : 连续型随机变量教学内容 : 连续型随机变量的定义、表示及性质，一维随机变量函数的分布的 意义及求法。教学目的 :(1) 深刻理解连续型随机变量分布密度函数的意义及性质，熟
9、练掌握分布密度 函数性质的应用(2) 熟练掌握分布密度函数与随机变量在某区间是取值的概率之间的计3 概率论与数理统计教案 算;(3) 理解随机变量的函数仍为随面变量，其分布函数 ( 或密度)由原随机变量的 分布各函数关系决定，掌握离散型随机变量函数的分布的计算 ; (4) 了解求连续型 随机变量函数分布的一般方法。 教学的过程和要求 :(1) 对比离散型随机变量的取值情况举例给出连续型随机变量的定义 ; 举例说 明连续型随机变量的定义 :例 3: 设一个半径为 2 的圆盘靶子，假设射击都能中靶，且打到靶上任一同心圆内的概率与该圆的面积成正比.以X表示弹着点与圆心的距离，试求X的分布函数.F(x
10、)定义：如果对于随机变量X的分布函数，存在函数F(x)，使得对于任意实数x，有f(x),O(,x,，,)xF(x),pX,x,f(x)dx ,则称 X 为连续型随机变量，函数称为 X 的概率密度函数 ( 简称密度函 f(x)数).(2) 举例说明密度函数的定义、意义和性质 .( 书中例 3) 强调密度函数的性质及 应用(其中密度函数中求知参数的求法、已知密度函数求概率 )。 (i) 密度函数的定 义:连续型随机变量分布函数中的称为 X 的概率密度函数 ( 简称密度 f(x)函数).(ii) 密度函数的意义和性质 :1)非负性:(); ,x, ，,f(x),0，,2)=1; F( ，,),p(X
11、, ，,),f(x)dx,3) 对于任意实数和，有 b(a,b)abpa,X,b,F(b),F(a),f(x)dx; ,a,4) 在的连续点处，有 f(x)F(x),f(x)(iii) 密度函数的计算 :,Acosx,x,2Xf(x), 补充例题 : 设随机变量的概率密度为 : ，求 ,0,x,2,，”A0,1)常数;2)pX。(30 分)，,4,(3) 了解密度函数与分布函数的关系。可以练习书后1 3题并讲解(1 5 分)。4概率论与数理统计教案(4) 举例说明随机变量函数的定义，重点说明随机变量函数的意义和决定随机 变函数分布的因素有哪些，通过例题介绍随机变量函数的分布的求法，离散型随机
12、变量讲解书中例 1。连续型随机变量函数的分布要注意强调用分布函数的定义的方 法(不作为考试重点 ), 例子以线性函数为主 ,可对线性函数密度函数之间的关系进行 总结.(15 分) (i) 举例说明随机变量函数的定义 :例：在测量中由于误差的存在，某轴承的直径X是一个随机变量，可以得12到它的分布，但是我们关心的是轴承横截面积Y,X，由于直径是随4Y机变量，那么横截面积 Y也是一个随机变量，具有一定的分布，可以由与XYXX的函数关系和的分布唯一确定，则的分布即为随机变量函数的分布。定义： X 是一个随机变量，为连续实函数，则称为一 g(x)Y,g(X) 维随机变量的 函数，显然Y也是一个随机变量
13、.(ii)随机变量函数的分布的求法：离散型随机变量函数分布的求法 ：X首先将的取值代入函数关系式，求出随机变量丫相应的取值y,g(x)(i,1， 2，？.)ii如果的值各不相等，贝U 丫的概率分布为y(i,1，2，？ .)iY , , yyy12ip , , ppp12i如果中出现相同的函数值，如 y,g(x)(i,1， 2，？ )iiYy,g(x),g(x)(i,k) ，则在丫的分布列中，取y的概率为 iiki,pY,y,pX,x ， pX,x,p ， p. iikik例1:设随机变量X的概率分布为X -2 -1 01 2 3p 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.152Z,
14、XY,2X， 1 求和的概率分布 .Y,2X，1 解:由函数和X可能的取值，得丫相应的取值为Y,2X，1YXY又由中与是一一对应关系可得的分布，3,1,1,3,5,7如下:Y,2X， 1-1 1 35 7 -3p 0.05 0.15 0.20 0.25 0.20 0.152Z,X 可能取的值为 0，1，4，9，相应的概率值为,pZ,0,pX,0,0.205 概率论与数理统计教案,pZ,1,pX,1，pX,1,0.25 ，0.15,0.4 同理 ,pZ,4,0.25,0.15 ,pZ,9即 Z 的概率分布为2 0 1 4 9Z,Xp 0.200.40 0.25 0.15 补充例题 :X测一圆盘的
15、半径，其概率分布为10 11 12 13 X0.3 0.2 0.1 0.4P求圆的周长和面积的分布。 ( 可让学生先做然后讲解 );(20 分) 连续型随机变量函数分布的求法 :XY,aX, bb例2:设的分布密度为，求随机变量(，均为常数，f(x)aa,0 且)的概 率密度.丫解：用来表示随机变量的分布函数，由分布函数的定义F(y)丫F(y),p(Y,y),p(aX ， b,y) Yyb,y,baF(y),p(X,),f(x)dxa,0 当时， Y,a yb,1,f(y)F(y)f() , Yaayb,y,by,baF(y),p(X,),1,p(X,),1,f(x)dxa,0当时， Y,aayb,1,f(y)F(y)f(), Yaayb,1,Y 则的分布密度为 f(y)F(y)f(),Yaa书中配套练习 ( 任选 )(10 分钟)第七讲 : 随机变量的数字特征教学内容 :
