《因式分解的常用方法(最全版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解的常用方法(最全版)（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公 因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：(1 )通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公 因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分 组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2 )若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除 法、拆项(添项)等方法； 。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法 . ： ma+mb+mc=m(a+b+
2、c)二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分 解中常用的公式，例如：( 1 ) (a+b)(a - b) = a 2 - b 2 a 2 - b 2 =(a+b)(a - b) ；(2) (a b) 2 = a 2 2ab+b 2 a 2 2ab+b 2 =(a b) 2 ；(3) (a+b)(a 2 - ab+b 2 ) = a 3 +b 3 a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 - ab+b 2 ) ；(4) (a - b)(a 2 +ab+b 2 ) = a 3 - b 3 a 3 - b 3 =(a - b)(a 2 +ab+b2 ) 下
3、面再补充两 个常用的公式：(5) a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ；(6) a 3 +b 3 +c 3 - 3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 - ab - bc - ca) ；例.已知皿h l是AABi；的三边，且 / 小I皿则的形状是()A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： /i山一 w : 2(/ - 2/. - 2l 右/ - 2f：-2i 订n(上y I (b-ef I (c-a)? =Oabc三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：讥出期m I卜;n分析：从“整体”看
4、，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分 解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有 b ，因此可 以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联 系。解：原式=W 旳I 伽仆k =u 每组之间还有公因式！=丨Mb 卜、例2、分解因式：丫卅讥解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式=门点川叮切原式=tX治丨卫点5M）= 貰工 5 门 ；打工 51| = .VI ?.d h i 5 ri.u /；=H/-: =订切工? ;练习：分解因式1、丁 - M 庶仏2、 Vi， 1（二）分组
5、后能直接运用公式例3、分解因式：* Z 5W分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式， 但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=（ 小（心=X 叮.门川门=江I川例4、分解因式：S I *解：原式=W、“）/(a -b - c)(a - b -i c)练习：分解因式34、换单项式例 1 分解因式 x 6 + 14x 3 y + 49y 2 .分析 ：注意到 x 6 =( x 32 ，若把单项式 x 3 换元，设 x 3 = m ，则x 6 = m 2 ，原式变形为m 2+ 14m y + 49y 2 = (m + 7y) 2= ( x 3+ 7y) 2 .
6、二综合练习：(1 )匸门 ( 2)叫 1壮-、:讥/：(3 )/：；*厲丿I(4 )了f讪：+丨、亦 一4订(5)/-汀-/-耳(6 )也、八(7)(、|：(8 )“- I 歸！(9 )门门！ W ( 10 ) w 2 门卅(11 ) /C i J ：川丨 i汨 小( 12 )/ I 2 i /玄小 4m 4Just ita + 1(7) 2 I kN 41 -v 4/3 ( 8)；.2(9 )和丄r 2 “Ith ( io )12(x I y)7 11(* - y、换多项式 例 2 分解因式 (x 2 +4x+6) + (x 2 +6x+6) +x 2 .) 1 2(x- ,f)，思考：分解
7、因式：心 2沁 五、换元法。分析 ：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x 2 +6= m ，则 x 2 +4x+6= m+4x ， x 2 +6x+6= m+6x ，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x 2 = m 2 +10mx+24x 2 +x 2 = m 2 +10mx+25x 2= (m+5x) 2 = ( x 2 +6+5x) 2= (x+2)(x+3) 2 = (x+2) 2 (x+3) 2 .以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法” . 当然，我 们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法” . 比 如，设 x
8、 2 +4x+6=m ，则 x 2 +6x+6=m+2x ，原式变形为m(m+2x)+ x 2 = m 2 +2mx+x 2 = (m+x) 2 = ( x 2 +4x+6+x) 2 = ( x 2 +5x+6) 2= (x+2)(x+3) 2 = (x+2) 2 (x+3) 2 .另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m二(x 2 +4X+6)+ (x 2 +6x+6)= x 2 +5x+6 ，则 x 2 +4x+6=m-x ， x 2 +6x+6=m+x ，(m+x)(m-x)+x 2 = m 2 -x 2
9、+x 2= m 2 = (x 2 +5x+6) 2 = (x+2)(x+3) 2= (x+2)2(x+3) 2 .例 3 分解因式 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析 ：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转 化成为两个多项式的乘积 . 无论如何分组，最高项都是 x 2 ，常数项不相 等，所以只能设法使一次项相同 . 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4) 分组为 (x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x 2 +x-2) (x 2 +x-12) ，从而转化成例 2 形式加以解决 .1我们采用“均值换元法”，设m=(x 2 +x-
10、2)+ (x 2 +x-12)=x 2 +x-7，则x 2 +x-2=m+5 ， x 2 +x-2= m-5 ，原式变形为(m+5)(m-5)+24= m 2 -25+24= m 2 -1=(m+1)(m-1)= ( x 2 +x-7+1)( x 2 +x-7-1)= ( x 2 +x-6)( x 2 +x-8)= (x-2)(x+3)( x 2 +x-8).(3) 、换常数例 1 分解因式 x 2 (x+1)-2003 x 2004x.分析 ：此题若按照一般思路解答，很难奏效 . 注意到 2003 、 2004 两个数 字之间的关系，把其中一个常数换元 . 比如，设 m=2003 ，则 20
11、04=m+1. 于是，原式变形为x 2 (x+1) 一 m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x 2 +x-m 2 -m)= x(x 2 -m 2 ) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m)= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例13、分解因式（1 ）广1农*川（2 ） l.v I）篇 *- 6）I / 解：（1 ）设 2005= 口，则原式=Z=L-. - I R. 小=- nt.； - .j.nri(2 )型如心胡M的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相 乘。原式=：-们扁 匕丨
12、倚I设 r I S.r 6 -，贝廿I ? :. ! 1 .原式=H r t . ? . j六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1 ）23./4解法 1 拆项。 解法 2 添项。原式 = I 厂 + 原式 =_ -； 丄丄i 4=i* M.J I) ?(r i ii.v 11 = m24 M.v i 4i =l.v i l)C； ii1 肚 T) = mt C 4) 4(.vj J 4上=(x 卜 IX” -4x i 4)=.m =(.V m (2 ) i .v (3解：原式=eh r -：“，-1)(护丨，I 1 j x1 H I 1 =门m2 i ； i穿w 宀 练习 15 、分解因
13、式(1 )h ( 2 )一 f l小*(3 )( 4 )1 - J. -+ :-(5 ) J： n ：( 6 )-七、待定系数法。例16、分解因式/ I 2 IW仟分析：原式的前3项”可以分为 沁小.门锂门，则原多项式必定可分为沁土 “ I解：设I 汀 Gf IX” 6= nt 3j-八叽-/ r I .j i2卜=I V.h” r. i v I (?-.f Wii ft；f-例17、( 1)当旳为何值时，多项式f 1 1叽j人能分解因式，并 分解此多项式。(2) 如果有两个因式为x】和卫+ 2，求口-心的值。(1)分析：前两项可以分解为门，故此多项式分解的形式必为 (x + 4- d)(x -y+h)
