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1、黄正敏莆田学院数学系2002 级，福建 莆田）摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊 例子进行推广。关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助 行列式法行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个 n 阶行列式都可以由它 的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下 不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非 零元素乘积项时，不一定从第 1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计 算行列式的两种最基本方法一一化三角形法和按行（列）展开法。
2、方法 1 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。 这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形 行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列 式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作 为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例 1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要计算如下行列式
3、的值：123- n 一 1n234n1D =n34512n12 -n 一 2n 一 1分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式 的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差1 的，根据行列 式的性质，先从第 n-1 列开始乘以 1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以 1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以 1 加到第2列。然后把第1 行乘以1加到各行去，再将其 化为三角形行列式，计算就简单多了。解：111 11111 11211 11 一n100 0-n(i 2,，n)D =311 1 一 n1200 一 n0nr 二=r：n1 一 n1 1
4、1n - 1一 n0 001+ + n0 001000-n100一 n(i = 2,* * ,n )120n01 n (n + 1)00-n01:r +rn:n21n i0一 n00n 一 2000|-n000n 一 1一 n001 n (n + 1)1)( n 2) .(一 n)n-1 -(一 1)2n2(n + 1)-nn j2问题推广例1中，显然是1,2，n-l,n这n个数在循环，那么如果是a ,a ,a ,a 01n-2n-1这 n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。2从而推广到一般，求下列行列式：a0an-1a1a0a2a1an-1an - 2(
5、a e c, i = 0,1,，n 一 1)i解：令A =a0an-1a2a1首先注意，若 u 为 na2a1a1a0a3a2a3a2a2a1a4a3次单位根a4a3an-1an - 2a1a0即 un=1 ），a1a0则有：-1 uu2a0an -1+ a u + 1+ a u + 0+ a un-1n -1- + a un-1n - 2:a+ a u + - + a un-1231un-1a+ a u + - + a un-1120（这里A -un = 1, A 用至 1u = un +1 等)a+au + .+aun-1 1 -01n -1a u+au2 + + a unu01n-1=(
6、a + a u + -+ a un-1) u201n-1a un-2+aun-1 + -+ a u2 n - 3-01n -1a un-1+aun + au2 n - 2un-101n-1u2其中f (u) = a0+ a u + 1+ a un-1n-11u n-1=COS2冗k2冗k+ i sin 为n次本原单位根:wn = 1, wk 丰 1(0 k n)于是：,w, w 2,.，wn-1互异且为单位根wjw2j(j = o丄，n 1)方阵w(wo)n-1w (n-1) j则由上述知：A - w =(w，) wjn-1故 Aw = ( Aw , Aw , , Aw )01)n -1(f
7、(w0)w , f (w)w，f (wn-1)w01f (wo )(w , w，w )- o1n-1f (wn-1)显然w =(w ,w , ,w ) 01n -1w2w 2 ( n - 1)为范德蒙行列式从而有：A w = w - f (1) - f (w)f (wn j) = A - wA = D = f (1) - f (w)f (w”j)n又例 1 中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例 1 与aa a01n -1aaaD =120n:aa an-10n-2相对应(n-1)( n - 2)而D与D只相差(一1 )2个符号(n-l)(n - 2)即得：D=(T) 2- f (1) -
8、f (w)f (wn-1)n从而当(a , a，a ) = (1,2,，n)时0 1,n-1对单位根u = wk丰1,总有：f (u) = 1 + 2 u + 3 u2 + + nun-1f (1) = 1 + 2 + + n = n (J f (u) - uf (u) = 1 + u + u2 + + un-1 - n = -n-n f (u)=1-u而又=n (x 一 wk) = 1 + x + x2 + + xn-1,x-1k = 1令 x = 1则有：(1 wk) = 1 +1 + +1 = n从而有：(n 1)( n 2)D = (1)2- f -f (w)f (wn-1)n (n
9、-1)(-1) 2n (n -1)巧 n (n + 1)1-(一 n)n-1 -(-nn-121 一 w2n(n -1)( n)Wn-1=(-1) 22(-1) 2与例 1 的答案一致。方法 2 按行（列）展开法（降阶法）设D = |a为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有n ijD = a A + a A H + a A （i = 1,2,n ）n i 1 i1 i 2 i 2in in或 D = a A + a A H + a A （j = 1,2,n）n 1j 1j 2 j 2jnj nj其中 A 为 D 中的元素 a 的代数余子式ij nij按行（列）展开法可以将一个n阶行列式
10、化为n个n-1阶行列式计算。若继续 使用按行（列）展开法，可以将 n 阶行列式降阶直至化为许多个 2阶行列式计算， 这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算 量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此， 应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。例2，计算20阶行列式123 181920212 171819D20=321 161718201918 321分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至 化许许多多个 2 阶行列式计算，需进行 20！*201 次加减法和乘法运算，这人根本 是无法完成的，更何况是 n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则 很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算：122132 181719182019D =321.16171820:201918321111111302222(i = 2, , 20 )4002
