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1、2019届 北师大版数学精品资料,学生用书单独成册)A.基础达标1如图，为了测量隧道两口A、B之间的长度，对给出的四组数据， 计算时要求最简便，测量时要求最容易，应当采用的一组是()Aa，b，Ba，b，Ca，b， D，a解析：选A.根据实际情况，都是不易测量的数据，在ABC中，a，b可以测得，角也可测得，根据余弦定理能直接求出AB的长2一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.海里/小时 B34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时解析：选A.如图所示，在PMN中，所以MN34，所以v(海
2、里/小时)3如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为()A(3030)m B(3015)mC(1530)m D(1515)m解析：选A.在PAB中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 ，由正弦定理得，所以PB30()，所以树的高度为PBsin 4530()(3030) m.4渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)()A14.5
3、 km/h B15.6 km/hC13.5 km/h D11.3 km/h解析：选C.由物理学知识，画出示意图，AB15，AD4，BAD120.在ABCD中，D60，在ADC中，由余弦定理得AC13.5.5.如图，从气球A测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆B、C的俯角分别为、，此时气球的高度为h，则两个场馆B、C间的距离为()A. B.C. D.解析：选B.在RtADC中，AC，在ABC中，由正弦定理得BCsin().6海上的A、B两个小岛相距10 km，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间的距离是_km.解析：如图所示，则C180(6075)
4、45.在ABC中，由正弦定理，得BC5(km)答案：57要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲观测点连线及甲、乙两观测点连线所成的角为120，甲、乙两观测点相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是_解析：由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得，3h2h25002h500，解得h500 m(负值舍去)答案：500 m8一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转10
5、5，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知：x.答案：9如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿北偏东30方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上(1)求该军舰艇的速度(2)求sin 的值解：(1)依题意知，CAB120，AB1002200，AC120，ACB，在ABC中， 由余弦定理
6、，得BC2AB2AC22ABACcosCAB200212022200120cos 12078 400，解得BC280.所以该军舰艇的速度为140海里/小时(2)在ABC中，由正弦定理，得，即sin .10为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内，如图，飞机能测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案；包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤解：(1)需要测量的数据有A到M、N的俯角1、1，B到M、N的俯角2、2，A、B的距离d(如图所示)(2)方案一：第一步：计算A
7、M，由正弦定理得AM；第二步：计算AN，由正弦定理得AN ；第三步：计算MN，由余弦定理得MN.方案二：第一步：计算BM，由正弦定理得BM；第二步：计算BN，由正弦定理得BN；第三步：计算MN，由余弦定理得MN.B.能力提升1江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得两船俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()A10 m B100 mC20 m D30 m解析：选D.设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知BAD45，CAD60，BDC30，AD30.分别在RtADB，RtADC中，求得DB30，DC30.在DBC中，由余弦定理得BC2
8、DB2DC22DBDCcos 30，解得BC30.2在船A上测得它的南偏东30的海面上有一灯塔，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半个小时后，于B处看得灯塔在船的正西方向，则这时船和灯塔相距(sin 15)()A.海里 B.海里C.海里 D.海里解析：选B.如图所示，设灯塔为C，由题意可知，在ABC中，BAC15，B45，C120，AB300.515(海里)，所以由正弦定理，可求得BCsin 15(海里)3如图，在山底测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为30的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_m.解析：如图，SAB453015，又SBD15，所以ABS30.
9、AS1 000，由正弦定理知，所以BS2 000sin 15.所以BDBSsin 752 000sin 15cos 151 000sin 30500，且DCST1 000sin 30500，从而BCDCDB1 000 m.答案：1 0004已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_km.解析：由题意，知ACB8040120，AC2，AB3，设B船到灯塔C的距离为x km，即BCx，由余弦定理，可知AB2AC2BC22ACBCcos 120，即94x222x()，整理得x22x50，解得x1(舍去
10、)或x1.答案：15要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m，速度为900 km/h，航测员先测得对山顶的俯角为30，经过40 s(已飞过M点)后又测得对山顶的俯角为45，求山顶的海拔高度(精确到1 m，可能要用到的数据：1.414，1.732，2.450)解：900 km/h250 m/s，AB2504010 000(m)，在ABM中，由正弦定理得，BM.作MDAB于D，则MDBMsin 45sin 455 000(1)3 660，M的海拔高度为10 0003 6606 340 (m)即山顶的海拔高度为6 340 m.6某海上
11、养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60距离20(1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)小时后开始影响基地并持续2小时求台风移动的方向解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，影响结束时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD20海里，AC20海里由题意知，AB20(1)海里，DC21020海里，BC(1)10海里在ADC中，因为DC2AD2AC2，所以DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理的变形公式得cosBAC，所以BAC30，又因为B位于A的南偏东60，且603090180，所以D位于A的正北方向，又因为ADC45，所以台风移动的方向为的方向，即北偏西45方向所以台风向北偏西45方向移动
