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1、互补性与超模性：产业经济经济理论新进展东北财经大学经济学院周鹏本文简要评述了Topkis提出并由Milgrom和Roberts.等发展的互补性和超模性经济理论。他们使用了数学中的格论（lattice theory）来正式地表述经济意义上的互补，给出了一个完备的比较静态分析。互补性和超模性概念能够揭示出企业的战略、结构以及管理过程需要彼此契合。互补性和超模性理论不仅在经济学分析具有很强的解释力，而且在管理实践中也具有深刻的指导意义。关键词： 互补性 超模性 Complementarity and Supermodularity : A Progress of Modern EconomicsZh
2、ou PengThis paper discusses Complementarity and Supermodularity theory, which is proposed by Topkis and developed by Milgrom and Roberts. They explain the economic complementarity by using Lattice theory in Mathematics and develop a complete static analysis. This theory can be used to analyze the fi
3、tness among strategy, structure and management process. This direction shows a good explanatory power and very useful in management.Key words: Complementarity Supermodularity在微观经济学中，互补性（complementarity）概念对于我们来说并不陌生。如果两种商品互相补充、共同提供一种效用，那么我们称它们为互补品，而它们之间的关系则为互补性。起初，这种看起来极其普通的定性认识并未引起人们足够的注意。萨缪尔森早期（194
4、7）关于互补性有个评论：“在我看来，从其根本的重要性上来说互补性问题并不值得人们那么关注”。但是，随着现代经济学研究的进展，互补性以及与之有关的超模性（supermodularity）概念受到了经济学家的重视，其应用在宏观和微观经济领域都有涉及，乃至萨缪尔森在后期（1974）认识上也发生了转变：“重新审视互补性概念的时机已经成熟最简单的东西往往是最难于完全理解的”。在互补性和超模性经济理论研究方面， Topkis（1978，1979），Milgrom和Roberts（1990）是代表性人物，随后该主题的研究迅速集中了一批优秀的经济学家如Vives（1990）、Amir（1991，1996，20
5、03）等。在模型技术上，他们使用了数学中的格论（lattice theory）来正式地表述经济意义上的互补，解决了传统经济学无法处理的经济现实中变量个数增多和非凸性问题，给出了一个完备的比较静态分析。在经济内涵方面，互补性和超模性概念能够揭示出企业的战略、结构以及管理过程需要彼此契合；企业需要变革组织设计和组织过程来适应市场环境和自身战略的变化；经济或组织系统有时会陷入某个状态而难于自拔，其变迁往往表现出缓慢、磨合和不确定。互补性和超模性理论不仅在经济学分析具有很强的解释力，而且在管理实践中也具有深刻的指导意义。二、互补性与超模性思想的简单数理表述互补性这种说法始自埃奇沃思（Edgeworth
6、，），其含义可以一般地归纳为，如果强化一种活动会提高强化另一种活动的收益，那么这两种活动就是互补的。在目标函数可导的前提下，这种说法等价于目标函数关于两个自变量的混合偏导值为正数，即某个变量的边际收益是另一个变量的增函数。对于很多现实问题来说，目标函数连续性、可导性以及变量可分性的要求都过于苛刻，而Topkis使用的互补性和超模性方法就克服了这些现实中的约束。Topkis（1976，1978，1987），Milgrom和Roberts（1990，1994，1995）使用了数学中的格论来表述互补性。为了避免说明过于复杂，我们这里只介绍相关的基本内容。在欧氏空间中，如果对于集合X中任意的元素和，都
7、存在不小于和的元素，同时也存在不大于和的元素，那么X就是一个格。表示大于或等于和的最小要素（可以理解为集合运算中的“并”运算）；表示小于或等于和的最大要素（可以理解为集合运算中的“交”运算）。这里X或X表示集合X的要素存在一致的偏序（partial order）关系。在多维的情形下点，即选择两个点中的最大或最小坐标确定一个新的点。因此，格定义的数理表述为，对于集合X来说，对于任意点，都存在，那么X就是一个格。这也意味着，对于一个格来说，其元素可以按照某个顺序进行排列。在一个格中进行、运算得到一个封闭集合叫做子格（sublattice）。图1可以直观地表现出格的一般含义。如果二维空间上一个区域是
8、一个子格，那么其边界就不能向下倾斜。图1 集合为二维空间上的一个子格根据格的数学定义我们可以看出，一个子格能够表达一种技术上的互补性。这里的互补性表现在，如果问题定义在空间（比如生产中的种投入）上的一个子格中，那就意味着增加一些变量的值并不妨碍增加其它变量的值；同样，减少一些变量的值也不妨碍减少其它变量的值。通过目标函数来正式表述互补性就引出了超模性概念：对于定义在格上的一个目标函数，如果对于任意的，不等式都成立，那么就是超模函数，其变量也具有埃奇沃思意义上的互补性。在二维的情形下，这个不等式的含义是，从点变动到点（或）所实现函数的增量小于从点（或）变动到点的相应增量，即增加一个变量可以提高另
9、一个变量的增加带来的收益。这种表述的数理表达也可以直接写成。我们知道，在两种商品为互补品的效用函数中，或者是两种要素具有互补性的生产函数中，这个式子都是成立的。互补性和超模性在数理上的定义尽管简单，但却蕴含着丰富的经济理论内涵。三、互补性和超模性理论的经济内涵Milgrom和Roberts深具洞见地指出，增加某种活动会提高增加另一种活动的收益，这个互补性定义在本质上是一种顺序（order）的概念。在比较静态经济分析中，增加外生变量会导致内生变量的增加就表现出两种变量之间的互补性。这就意味着，我们在解决经济问题时只需要关注具有一定顺序的解集就可以了。具体来说，互补性和超模性的内涵可以归纳为如下三
10、个方面。1在技术层面，互补性和超模性原理实际上是一种比较静态分析的优化方法，可以大大简化经济问题最优解的“搜寻”过程。根据超模函数的定义，如果和在子格上使超模函数实现极值，那么和也能使实现极值。这样，超模函数极值点具有很好的特性：如果极值点不唯一，那么极值点或者是严格有序的（所有选择都是低值水平或者都是高值水平），或者是对于任意两个无序极值点来说必然存在其它极值点严格大于或小于这两个解。进一步说，如果判断出在子格上使得一个超模函数实现极大，那么我们就可以根据是否严格大于或小于来寻找其它极值点。如果这些点都没有产生更大的值，那么其它点也不可能是极值点。这种优化方法显示出了很高的效率。在选择变量数
11、目很多的情况下，使用常规方法选择极值点需要进行大量的信息和计算工作。但是，如果运用上述分析把解的范围从个象限缩减到2个象限，而遗漏解的可能性只有50，那么这对于最优解的搜寻来说是很有效率的。如果超模函数定义在选择变量的向量以及参数向量组成的子格上，那么极值点的比较静态就很容易分析，因为极值解是参数的单调非递减函数。进一步说，如果外部环境发生变化，选择变量将以系统、一致的方式上下变化，从而导致一个变量的提高会使全部变量都随之提高。这在参数分布彼此独立的横截面分析中，表现为任意两个内生变量，都是正相关的。超模性并不仅仅适用于这种单调比较静态结果，它也是目标函数变量增加时保证单调性不变所必需的。这些
12、增加变量指那些模型中没有反映、但现实中存在的效应和特性因素。为了保证模型的可靠性，就需要把这些效应纳入分析时所得到的比较静态结论仍然成立。如果在加上个别变量的二次凹函数后仍然保持单调性，那么必须是超模函数。因而，在研究企业问题时，要构建一个比较静态结果不依赖于附加项特征的利润函数，就需要目标函数是超模函数。此外，即使总目标函数由于一些选择变量相互替代而非超模函数，只要企业的目标分解后得到局部超模函数，战略性选择变量与局部变量仍然构成互补性关系，那么基于互补性和超模性分析的优化方法就仍然有效。这里的经济含义是，企业在适应环境变化的过程中，会发现进一步采取与新近举措互补的行动大有好处。比如，为非负
13、实数，在外界参数变化前，在初始最优点位置。如果参数变化后仍然满足，那么在新的最优解位置仍然有；但如果，那么就取正值。如果在初始位置还未达到最优，而且与的交叉偏导为正，那么提高就更有利。因而，在变动环境中企业将致力于寻求与现有行动具有互补关系的措施。在现实经济中，选择变量之间普遍存在的强互补性本身就意味着目标函数不可能是凹的。超模函数避免了以往经济模型要求的变量可分性和凹性函数等不现实假设，使得模型可以分析报酬递增。使用互补性和超模性分析需要对复杂的战略和组织政策进行适当排序。当两个变量本来互相替代，即混合偏导小于零，那么将某个变量的排序颠倒就会改变混合偏导的符号（也就说，若，则），从而产生互补
14、性。2在经济思想层面，互补性和超模性能够正式地解决协同性和系统效应问题，即“整体大于其部分之和”；也能够解决“报酬递增”或“正反馈”问题。假定和是空间上的两个点并且严格大于。在数学上超模性等价于，对于每个和，将的每个部分都提高到与中对应的水平，实现的收益大于变量逐个增加实现的收益总和，用数理公式表达就是。这里表示以外的其它所有变量量。关于整体与部分之间的关系的正式表达还有：若是独立同分布的随机干扰项，则超模函数满足。这意味着，如果选择变量受到随机误差项的干扰，那么超模函数的干扰项相同比它们各自独立时期望值要大。也就是说，在要素之间存在互补性的情况下，只要各部分之间彼此契合，那么即使发生了偏离计
15、划的现象，那么对其进行协调就比“各自为政”产生的破坏成本更低。进一步推论，分散化决策有可能给各个主体产生协调失败的损失，而这种协调失败隐含着一种超模性。假定分散主体的现有选择为，报酬为，对任意以及有，存在使得。这样，在维区间上存在一个超模函数，该区间与定义域是一致的。这个道理在实践中体现在，如果企业的部门管理者都根据企业利润最大化目标针对外部环境参数变化选择最优决策变量，但它们不能协调其行动，而是每个人都假定别人行动不变而采取行动，那么它们在整体上就对环境变化没有实现最优反应。上述分析在动态意义上还会产生另外一种含义：一旦经济系统的互补性变量发生了整体性的向上或向下变动，那么这个过程就将按照初
16、始的方向持续下去。这实际上解释了系统的成长、衰退以及崩溃过程。该思想的模型化表达是，目标函数是超模函数，如果在某个时期有，那么结果就一定是，除非有某种外部冲击打断这种过程。类似地，如果值下降，那么这种下降趋势将继续，除非有某种冲击打断。如果考虑到更长期界内的目标函数，比如在某个时期开始最大化，那么该结论仍然成立。许多建立在规模报酬基础上的增长模型可以纳入上述框架，因为在这些模型中规模报酬等价于不同时点选择的互补性。比如，假定某个决策者在时期实现的收益是当时资本存量的凹函数，而资本存量取决于投资。如果净收益是，其中是凹函数。那么该目标函数就是各期投资水平的超模函数，即不同时期的投资具有互补性。类似的，假定在任何一个时期净资本存量为，并且任何时期的净收益为，其中每个都是凹的增函数且。函数表示投资的平均成本；其自变量为资本存量的扩张速度。此时，不同时点的投资就是彼此互补的，早期的高水平投资将增加后期投资的速度。3在方法论层面，
