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1、第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设 在A中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A的一个k 阶子式。例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，记作R(A)或秩(A)。 规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子
2、式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A) m, R(A) n, 0 R(A) min m , n . (4) 如果 Ann , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵，求R(B)。解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R(B) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数” 非零行的行数。例2 设 如果 求 a
3、.解 或例3 则 2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即 则注： 只改变子行列式的符号。 是 A 中对应子式的 k 倍。 是行列式运算的性质。求矩阵A的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。例4 求解 R(A) = 2 例5三、满秩矩阵定义3 A 为 n 阶方阵时， 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）可见：对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的定理.定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵 使得对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .例如 A为满秩方阵。关于矩阵的秩的一些重要结论：定理5 R(AB) R(A), R(AB) R(B), 即R(AB) minR(A)，R(B)设A是 矩阵，B是 矩阵，性质1性质2 如果 A B = 0 则性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。性质4 设A,B均为 矩阵，则例8 设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）n证： （A+E）+（E-A）=2E R（A+E）+ R（ E-A ） R（2E）=n而 R（ E-A ）=R（ A-E ） R（A+E）+R（A-E）n
